如何找到以100000007为模的大数乘法

Question

我们知道1000000007是一个大质数。 如何找到两个大数的模1000000007的乘法

例如，如果我想找到78627765 * 67527574 mod 1000000007，该怎么办。

至少有人告诉我我会尝试的程序

注意：请让我知道具有int，long或long long等原始数据类型的解决方案，谢谢

Answer 1

模链具有合理的数量，这些数量正在推高数字比较空间的极限：

(A * B) % C == ((A % C) * (B % C)) % C.

证明很简单，全世界加密网站上确实有成千上万个示例。 一个简单的示例：

（7 * 8）％5 = 56％5 = 1

和

((7 % 5) * (8 % 5)) % 5 = (2 * 3) % 5 = 6 % 5 = 1

我希望这有帮助。 显然，当A和B已经达到您的高端平台限制，并且仍然小于C时，它就变得毫无意义，但是当情况并非如此时（例如，A> C和/或B> C ）。

Answer 2

由于这看起来像是作业或上下文问题，因此我仅给出提示。

如果您知道x％m和y％m，如何找到（x + y）％m？ 如果您知道x％m，怎么找到（2x）％m？

由于您想找到（a * b）％m，有没有一种方法可以分解b，以便可以使用上面的两个提示？

Answer 3

您为什么不想为此使用64位算术？ 当然，这仅在被乘法的操作数每个不超过32位的情况下才有效（但这也可以是固定的）。 考虑：

typedef unsigned long long uint64;
uint64 m = 1000000007UL;
uint64 r = (uint64)a * (uint64)b;
r = r % m; // get the residue

您还可以对其进行优化，以避免可能昂贵的'％'：

double inv = 1.0 / 1000000007UL; // precompute inverse
uint64 r = (uint64)a * (uint64)b;
uint64 rf = (uint64)floor((double)a * (double)b * inv); // floor(a * b / m) 
r = r - rf * m; //  residue

请注意，第二种方法可能需要一定的准确性。 您也可以使用“ long double”代替