快速素數分解算法

Question

我正在用 C 編寫一個代碼，它返回一個正整數可以表示為兩個正整數的完全平方和的次數。

R(n) is the number of couples (x,y) such that x² + y² = n where x, y, n are all 
non negative integers.

為了計算 R(n)，我需要首先找到 n 的質因數分解。

問題是我已經嘗試了很多可以在 C 上使用的素數分解算法，但我需要我的代碼盡可能快，所以如果有人能給我他/她認為是計算大到2147483742.的數的質因數分解的最快算法2147483742.

Answer 1

多么奇怪的限制； 2147483742 = 2^31 + 94。

正如其他人指出的那樣，對於一個數字，這個由素數進行的小試除很可能足夠快。 如果不是，您可以嘗試 Pollard 的 rho 方法：

/* WARNING! UNTESTED CODE! */
long rho(n, c) {
    long t = 2;
    long h = 2;
    long d = 1;

    while (d == 1) {
        t = (t*t + c) % n;
        h = (h*h + c) % n;
        h = (h*h + c) % n;
        d = gcd(t-h, n); }

    if (d == n)
        return rho(n, c+1);
    return d;
}

稱為rho(n,1)此函數返回n的（可能是復合）因子; 如果您想找到n 的所有因子，請將其放入循環中並重復調用它。 你還需要一個素數檢查器； 對於您的極限，以 2、7 和 61 為基數的 Rabin-Miller 測試被證明是准確且相當快的。 您可以在我的博客上閱讀更多關於使用質數編程的信息。

但無論如何，鑒於如此小的限制，我認為您最好使用素數試除。 其他任何東西都可能漸近地更快，但實際上更慢。

編輯：這個答案最近收到了幾個贊成票，所以我添加了一個簡單的程序，用 2、3、5 輪進行輪分解。 該程序稱為wheel(n) ，按遞增順序打印n的因子。

long wheel(long n) {
    long ws[] = {1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6};
    long f = 2; int w = 0;

    while (f * f <= n) {
        if (n % f == 0) {
            printf("%ld\n", f);
            n /= f;
        } else {
            f += ws[w];
            w = (w == 10) ? 3 : (w+1);
        }
    }
    printf("%ld\n", n);

    return 0;
}

我在 我的博客中討論了輪子分解； 解釋很長，所以我不會在這里重復。 對於適合long整數，您不太可能顯着改善上面給出的wheel函數。

Answer 2

有一種快速的方法可以減少候選人的數量。 此例程嘗試 2，然后是 3，然后是所有不能被 3 整除的奇數。

long mediumFactor(n)
{
    if ((n % 2) == 0) return 2;
    if ((n % 3) == 0) return 3;
    try = 5;
    inc = 2;
    lim = sqrt(n);
    while (try <= lim)
    {
       if ((n % try) == 0) return try;
       try += inc;
       inc = 6 - inc;  // flip from 2 -> 4 -> 2
    }
    return 1;  // n is prime
}

inc 在 2 和 4 之間的交替經過仔細對齊，以便跳過所有偶數和可被 3 整除的數。對於這種情況： 5 (+2) 7 (+4) 11 (+2) 13 (+4) 17

試驗在 sqrt(n) 處停止，因為至少有一個因子必須等於或低於平方根。 （如果兩個因子都 > sqrt(n)，那么因子的乘積將大於 n。）

嘗試次數為 sqrt(m)/3，其中 m 是系列中可能的最高數字。 對於 2147483647 的限制，最壞情況下（對於 2147483647 附近的素數）最多產生 15,448 個除法，包括 2 和 3 測試。

如果數字是合數，則划分的總數通常要少得多，很少會更多； 甚至考慮到重復調用例程來獲取所有因素。