具有整數系數的多項式的快速因式分解

Question

我想在整數環上快速分解多項式（原始多項式有整數系數，所有因子都有整數系數）。

例如，我想分解4*x^6 + 20*x^5 + 29*x^4 - 14*x^3 - 71*x^2 - 48*x為(2*x^4 + 7*x^3 + 4*x^2 - 13*x - 16)*(2*x + 3)*x 。

我應該選擇哪種算法來避免代碼的復雜性和方法的低效率（談論算術運算和內存消耗的總量）？

我將使用C編程語言。

例如，可能有一些好的算法用於整數環模數素數的多項式因式分解？

Answer 1

由於Sage是免費和開源的，你應該能夠找到Sage使用的算法然后調用它，或者最壞的情況下用C重新實現它。但是，如果你真的必須從頭開始寫一個程序，這就是我想要的do：首先找到所有系數的gcd並將其除去，這使得多項式“內容自由”。 然后取導數並找到原始多項式及其導數的多項式gcd。 通過多項式除法將該因子從原始多項式中取出，這將您的問題分解為兩部分：分解無內容，無方形多項式（p / gcd（p，p'）），並分解另一個多項式（gcd（p， p'））可能不是方形的。 對於后者，從一開始就重新開始，直到您將問題簡化為分解一個或多個無內容，無方形多項式。

下一步是實現分解算法mod p。 Berlekamp的算法可能是最簡單的，盡管Cantor-Zassenhaus是最先進的。

最后，應用Zassenhaus算法來計算整數。 如果發現它太慢，可以使用“Lenstra-Lenstra-Lovasz格子基礎約簡算法”進行改進。 http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials#Factoring_univariate_polynomials_over_the_integers

如你所見，這一切都相當復雜，取決於抽象代數的大量理論。 使用Sage使用的相同庫，或者重新實現Sage實現，甚至只是從程序中調用運行版本的Sage內核，你會好得多。

Answer 2

根據mathoverflow的這個答案 ， Sage使用FLINT進行因子分解。

FLINT（數論快速庫）是一個支持數論計算的C庫。 它也是數論中算法的研究項目。

因此，可以在該庫中查看甚至使用分解算法的實現，該庫經過充分測試和穩定。