以整數形式獲取線段和2 ^ n網格之間的所有交叉點

Question

我有一條從（x0，y0）到（x1，y1）的線穿過由2 ^ n寬的正方形瓷磚制成的網格。 我不僅需要找到線相交的瓦片，還需要找到相應的入口和出口點。 關於這一切的所有SO問題我可以找到處理“1x1”瓷磚而不關心瓷磚內交叉點發生的位置。

積分並不總是精確地在一個整數上，在某些情況下我會使用自然地板和其他我想要整理的地方。 但是現在讓它在所有情況下都自然而然地落地。

我找到了一個例子 ，最終得到了一個非常簡單的使用整數進行光線跟蹤的情況，但是它並沒有跟蹤交點，也沒有適用於通過中心的線條（假設為0.5,0.5偏移） 1x1瓷磚。

void raytrace(int x0, int y0, int x1, int y1)
{
    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    int x = x0;
    int y = y0;
    int n = 1 + dx + dy;
    int x_inc = (x1 > x0) ? 1 : -1;
    int y_inc = (y1 > y0) ? 1 : -1;
    int error = dx - dy;
    dx *= 2;
    dy *= 2;

    for (; n > 0; --n)
    {
        visit(x, y);

        if (error > 0)
        {
            x += x_inc;
            error -= dy;
        }
        else
        {
            y += y_inc;
            error += dx;
        }
    }
}

如何才能找到相交的2 ^ nx 2 ^ n網格圖塊，同時抓住2個相關的交叉點？ 似乎能夠在一塊瓷磚中“隨處”啟動的能力確實會破壞這個算法，而我的解決方案最終會使用除法，並且可能會在每次迭代時累積誤差。 這不好......

另外我認為對於第一個和最后一個圖塊，端點可以被假定為“其他”交叉點。

Answer 1

Woo，Amanatides有一篇有用的文章“ Fast Voxel Traversal Algorithm ... ”。 看一下實際的實現（ 網格遍歷部分 ）。 我用這種方法效果很好。

Answer 2

通過將整個坐標系除以2 ^ n，可以將2 ^ n X 2 ^ n平鋪大小減小到1 X 1 。

確切地說，在我們的情況下，這意味着您將線的起點和終點的坐標除以2 ^ n。 從現在開始，您可以將問題視為1X1大小的磁貼問題。 在問題的最后，我們將2 ^ n乘以我們的解決方案，以獲得2 ^ n X 2 ^ n解決方案的答案。

現在是在每個瓷磚中找到進入和退出點的部分。 假設線從（2.4,4.6）開始到（7.9,6.3）結束

• 由於線的起點和終點的x坐標是2.4和7.9，因此，它們之間的所有整數值都將與我們的線相交，即x坐標為3,4,5,6,7的瓦片將相交。 我們可以使用輸入線的等式計算這些x坐標的相應y坐標。
• 類似地，線的起點和終點的y坐標之間的所有整數將導致線和瓦片之間的另一組交叉點。
• 根據x坐標對所有這些點進行排序。 現在成對挑選它們，第一個將是入口點，第二個將是出口。
• 將這些點乘以2 ^ n，以獲得原始問題的解決方案。

算法復雜度：O（nlog n）其中n是行的起始坐標和結束坐標之間的整數范圍。 通過微小的修改，這可以進一步減少到O（n）。

Answer 3

在x0..x1范圍內插入x的每個整數值，並求解每個y。 這將為您提供瓷磚兩側交叉點的位置。

在y0..y1范圍內插入y的每個整數值，並求解x。 這將為您提供瓷磚頂部/底部交叉點的位置。

編輯

在處理不同的瓷磚尺寸並從瓷磚內部開始時，代碼會變得更加丑陋，但想法是一樣的。 這是C＃中的解決方案（在LINQPad中按原樣運行）：

List<Tuple<double,double>> intersections = new List<Tuple<double,double>>();

int tile_width = 4;

int x0 = 3;
int x1 = 15;
int y0 = 1;
int y1 = 17;

int round_up_x0_to_nearest_tile = tile_width*((x0 + tile_width -1)/tile_width);
int round_down_x1_to_nearest_tile = tile_width*x1/tile_width;

int round_up_y0_to_nearest_tile = tile_width*((y0 + tile_width -1)/tile_width);
int round_down_y1_to_nearest_tile = tile_width*y1/tile_width;

double slope = (y1-y0)*1.0/(x1-x0);
double inverse_slope = 1/slope;

for (int x = round_up_x0_to_nearest_tile; x <= round_down_x1_to_nearest_tile; x += tile_width)
{
    intersections.Add(new Tuple<double,double>(x, slope*(x-x0)+y0));
}

for (int y = round_up_y0_to_nearest_tile; y <= round_down_y1_to_nearest_tile; y += tile_width)
{
    intersections.Add(new Tuple<double,double>(inverse_slope*(y-y0)+x0, y));
}

intersections.Sort();

Console.WriteLine(intersections);

這種方法的缺點是，當線條恰好在一個角上與一個瓷磚相交時（即交點的x和y坐標都是整數），那么相同的交點將被添加到列表中的每一個中。循環。 在這種情況下，您需要從列表中刪除重復的交叉點。