在Agda中键入Hierarchy

Question

我试图找出类型层次结构如何在Agda中工作。

假设我定义了一个集合类型X：

X : Set 

然后继续构建归纳型

data Y : X -> Set where

什么是X -> Set ？ 是设置还是类型？

谢谢！

Answer 1

好吧，为什么不问阿格达呢？ 我将为Emacs使用出色的Agda模式。 我们从：

module Hierarchy where

postulate
  X : Set

data Y : X → Set where
  -- empty

我们必须使用Cc Cl加载文件; 这个typechecks文件，转? 进入洞，语法高亮等等。

现在，有一个命令“推断（演绎）类型”可以通过Cc Cd ，所以让我们使用：

> C-c C-d
Expression:
> Y
X → Set

对，这是有道理的。 我们定义了Y : X → Set ，所以它应该不足为奇。 我们再问一遍：

> C-c C-d
Expression:
> X → Set
Set₁

所以，你有它： Y : X → Set : Set₁ 。

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虽然第一部分回答了问题，并向您展示了如何自己检查这些东西，但每次这样做都会变得乏味，至少。 以下是它的工作原理：

为避免悖论，我们要求

Set i : Set (i + 1)

它为您提供了Set的（无限）层次结构。 如果你已经Set : Set （这阿格达通过允许--type-in-type标志），可以推导出矛盾，比如这一个 。

这也为我们提供了一个简单的函数规则：

A : Set i
B : A → Set j

(a : A) → B a : Set (max i j)

将此应用于您的示例：

X   : Set
Set : Set₁

X → Set : Set (max 0 1)
X → Set : Set₁