找到邻接矩阵中所有缺失的有向边

Question

我使用numpy矩阵来表示有向图，如下所示：

0 0 0
1 0 1
1 0 0

给定这样的矩阵，我想找到所有缺失的有向边，其中存在相反方向的有向边。

例如，在上面的矩阵中，对于节点1 （索引0），在这个意义上缺少边缘1 -> 2和1 -> 3 ，因为在另一个方向上存在边缘2 -> 1和3 -> 1 。 类似地，边缘3 -> 2也缺失，因为存在边缘2 -> 3 。

我的应用程序中的实际矩阵很大，例如数千个节点，用于查找这些边缘的算法必须很快。 蛮力方法是检查每对（给定矩阵的主对角线对称）并查看两者之间是否缺少边缘。

我想知道是否有更有效的方法（由numpy提供？）来做到这一点。 一些线性代数技巧？

Answer 1

我稍微修改了你的例子，以显示一对节点在两个方向上连接的情况。 这是一种用numpy做的方法：

import numpy as np

A = np.array([[0, 1, 0],
              [1, 0, 1],
              [1, 0, 0]]).astype(bool)

A = A
print A.astype(int)
B = A.transpose() & ~A
print B.astype(int)

这应该给：

[[0 1 0]
 [1 0 1]
 [1 0 0]]
[[0 0 1]
 [0 0 0]
 [0 1 0]]

我相信这就是你想要的。 如果你的矩阵非常大，你可以考虑使用稀疏矩阵，但原理是相同的。

说明 ：

对于任何边，A [i，j]，该边的反转是A [j，i]。 A [j，i]与A.transpose（）[i，j]相同。 因此，如果反转每条边的方向，则A.transpose（）是图形的邻接矩阵。 〜运算符等同于np.logical_not函数。 只要没有边缘，~A的值就是1。 您对“缺少连接”感兴趣，这些连接不在A中但在A.transpose（）中。 您可以使用＆运算符获取这些连接，该运算符等同于A.transpose（）和〜A上的np.logical_and。

Answer 2

像这样的邻接矩阵应该是对称的。 如何取下三角形部分，将其移位并将其与上三角形部分进行比较？ 像这样的东西：

low = tril(m).transpose()
upp = triu(m)
missing = mod(low + upp, 2)

如果上三角形部分缺少位置，则missing应为1。

如果您只关心它确保上部是正确的，您可以执行以下操作：

m = tril(m).transpose() + tril(m)