将函数应用于ndarray的每一行

Question

我有这个函数来计算向量x的平方Mahalanobis距离意味着：

def mahalanobis_sqdist(x, mean, Sigma):
   '''
    Calculates squared Mahalanobis Distance of vector x 
    to distibutions' mean 
   '''
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = x - mean
   sqmdist = np.dot(np.dot(xdiff, Sigma_inv), xdiff)
   return sqmdist

我有一个numpy数组，形状为(25, 4) 25,4 (25, 4) 。 所以，我想在没有for循环的情况下将该函数应用于我的数组的所有25行。 那么，基本上，我该如何编写这个循环的矢量化形式：

for r in d1:
    mahalanobis_sqdist(r[0:4], mean1, Sig1)

其中mean1和Sig1是：

>>> mean1
array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
>>> Sig1 = np.cov(d1[0:25, 0:4].T)
>>> Sig1
array([[ 0.16043333,  0.11808333,  0.02408333,  0.01943333],
       [ 0.11808333,  0.13583333,  0.00625   ,  0.02225   ],
       [ 0.02408333,  0.00625   ,  0.03916667,  0.00658333],
       [ 0.01943333,  0.02225   ,  0.00658333,  0.01093333]])

我尝试过以下但是没有用：

>>> vecdist = np.vectorize(mahalanobis_sqdist)
>>> vecdist(d1, mean1, Sig1)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/numpy/lib/function_base.py", line 1862, in __call__
    theout = self.thefunc(*newargs)
  File "<stdin>", line 6, in mahalanobis_sqdist
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/numpy/linalg/linalg.py", line 445, in inv
    return wrap(solve(a, identity(a.shape[0], dtype=a.dtype)))
IndexError: tuple index out of range

Answer 1

要将函数应用于数组的每一行，您可以使用：

np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)    

然而，在这种情况下，有一种更好的方法。 您不必将函数应用于每一行。 相反，您可以将NumPy操作应用于整个d1数组以计算相同的结果。 np.einsum可以替换for-loop和两次调用np.dot ：

---

def mahalanobis_sqdist2(d, mean, Sigma):
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = d - mean
   return np.einsum('ij,im,mj->i', xdiff, xdiff, Sigma_inv)

---

以下是一些基准测试：

import numpy as np
np.random.seed(1)

def mahalanobis_sqdist(x, mean, Sigma):
   '''
   Calculates squared Mahalanobis Distance of vector x 
   to distibutions mean 
   '''
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = x - mean
   sqmdist = np.dot(np.dot(xdiff, Sigma_inv), xdiff)
   return sqmdist

def mahalanobis_sqdist2(d, mean, Sigma):
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = d - mean
   return np.einsum('ij,im,mj->i', xdiff, xdiff, Sigma_inv)

def using_loop(d1, mean, Sigma):
    expected = []
    for r in d1:
        expected.append(mahalanobis_sqdist(r[0:4], mean1, Sig1))
    return np.array(expected)

d1 = np.random.random((25,4))
mean1 = np.array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
Sig1 = np.cov(d1[0:25, 0:4].T)

expected = using_loop(d1, mean1, Sig1)
result = np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)
result2 = mahalanobis_sqdist2(d1, mean1, Sig1)
assert np.allclose(expected, result)
assert np.allclose(expected, result2)

---

In [92]: %timeit mahalanobis_sqdist2(d1, mean1, Sig1)
10000 loops, best of 3: 31.1 µs per loop
In [94]: %timeit using_loop(d1, mean1, Sig1)
1000 loops, best of 3: 569 µs per loop
In [91]: %timeit np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)
1000 loops, best of 3: 806 µs per loop

因此， mahalanobis_sqdist2比for-loop快约18倍，比使用np.apply_along_axis快26倍。

---

请注意， np.apply_along_axis ， np.vectorize ， np.frompyfunc是Python实用程序函数。 在引擎盖下，它们使用for-或while-loop s。 这里没有真正的“矢量化”。 他们可以提供语法帮助，但是不要指望它们使你的代码比你自己编写的for-loop更好。

Answer 2

@unutbu的答案非常适合将任何函数应用于数组的行。 在这种特殊情况下，您可以使用一些数学对称性，如果您使用大型数组，这将大大加快速度。

以下是您的功能的修改版本：

def mahalanobis_sqdist3(x, mean, Sigma):
    Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
    xdiff = x - mean
    return (xdiff.dot(Sigma_inv)*xdiff).sum(axis=-1)

如果您最终使用任何类型的大型Sigma ，我建议您缓存Sigma_inv并将其作为参数传递给您的函数。 由于在这个例子中它是4x4，这没关系。 无论如何，我将展示如何处理大型Sigma ，对于遇到这种情况的任何其他人。

如果您不打算重复使用相同的Sigma ，则无法对其进行缓存，因此，您可以使用不同的方法来解决线性系统，而不是反转矩阵。 在这里，我将使用SciPy内置的LU分解。 如果x的列数相对于其行数较大，则这仅改善了时间。

这是一个显示该方法的函数：

from scipy.linalg import lu_factor, lu_solve
def mahalanobis_sqdist4(x, mean, Sigma):
    xdiff = x - mean
    Sigma_inv = lu_factor(Sigma)
    return (xdiff.T*lu_solve(Sigma_inv, xdiff.T)).sum(axis=0)

这是一些时间安排。 我会在其他答案中提到包含einsum的版本。

import numpy as np
Sig1 = np.array([[ 0.16043333,  0.11808333,  0.02408333,  0.01943333],
                 [ 0.11808333,  0.13583333,  0.00625   ,  0.02225   ],
                 [ 0.02408333,  0.00625   ,  0.03916667,  0.00658333],
                 [ 0.01943333,  0.02225   ,  0.00658333,  0.01093333]])
mean1 = np.array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
x = np.random.rand(25, 4)
%timeit np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist2(x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist3(x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist4(x, mean1, Sig1)

赠送：

1000 loops, best of 3: 973 µs per loop
10000 loops, best of 3: 36.2 µs per loop
10000 loops, best of 3: 40.8 µs per loop
10000 loops, best of 3: 83.2 µs per loop

但是，更改所涉及的阵列的大小会更改计时结果。 例如，让x = np.random.rand(2500, 4) ，时间是：

10 loops, best of 3: 95 ms per loop
1000 loops, best of 3: 355 µs per loop
10000 loops, best of 3: 131 µs per loop
1000 loops, best of 3: 337 µs per loop

并且让x = np.random.rand(1000, 1000) ， Sigma1 = np.random.rand(1000, 1000)和mean1 = np.random.rand(1000) ，时间是：

1 loops, best of 3: 1min 24s per loop
1 loops, best of 3: 2.39 s per loop
10 loops, best of 3: 155 ms per loop
10 loops, best of 3: 99.9 ms per loop

编辑 ：我注意到其他一个答案使用了Cholesky分解。 鉴于Sigma是对称且肯定的，我们实际上可以比上面的结果做得更好。 通过SciPy可以获得BLAS和LAPACK的一些很好的例程，它们可以使用对称正定矩阵。 这是两个更快的版本。

from scipy.linalg.fblas import dsymm
def mahalanobis_sqdist5(x, mean, Sigma_inv):
    xdiff = x - mean
    Sigma_inv = la.inv(Sigma)
    return np.einsum('...i,...i->...',dsymm(1., Sigma_inv, xdiff.T).T, xdiff)
from scipy.linalg.flapack import dposv
def mahalanobis_sqdist6(x, mean, Sigma):
    xdiff = x - mean
    return np.einsum('...i,...i->...', xdiff, dposv(Sigma, xdiff.T)[1].T)

第一个仍然反转Sigma。 如果你预先计算逆并重复使用它，它会快得多（1000x1000的情况在我的机器上需要35.6ms，并带有预先计算的逆）。 我还使用einsum取出产品然后沿最后一个轴求和。 这最终比做(A * B).sum(axis=-1)更快。 这两个函数给出以下时间：

第一个测试用例：

10000 loops, best of 3: 55.3 µs per loop
100000 loops, best of 3: 14.2 µs per loop

第二个测试案例：

10000 loops, best of 3: 121 µs per loop
10000 loops, best of 3: 79 µs per loop

第三个测试用例：

10 loops, best of 3: 92.5 ms per loop
10 loops, best of 3: 48.2 ms per loop

Answer 3

刚看到reddit上的一个非常好的评论，可能会加快速度：

对于经常使用numpy的人来说，这并不奇怪。 因为python中的循环非常慢。 实际上，einsum也很慢。 如果你有很多向量，那么这个版本会更快（4个维度中的500个向量足以使这个版本比我机器上的einsum更快）：

def no_einsum(d, mean, Sigma):
    L_inv = np.linalg.inv(numpy.linalg.cholesky(Sigma))
    xdiff = d - mean
    return np.sum(np.dot(xdiff, L_inv.T)**2, axis=1)

如果你的点也是高维的，那么计算逆是很慢（并且通常是一个坏主意）并且你可以通过直接求解系统来节省时间（250个维度中的500个向量足以使这个版本在我的机器上最快）：

def no_einsum_solve(d, mean, Sigma):
    L = numpy.linalg.cholesky(Sigma)
    xdiff = d - mean
    return np.sum(np.linalg.solve(L, xdiff.T)**2, axis=0)

Answer 4

问题是np.vectorize所有参数进行矢量化，但是您需要仅在第一个参数上进行矢量化。 您需要使用excluded关键字参数进行vectorize ：

np.vectorize(mahalanobis_sqdist, excluded=[1, 2])