将上下文无关语法转换为正则表达式

Question

我目前正在查看 CFG 并看到了答案，但我不确定他们是如何得到的。 他们是如何把它从 CFG 转换成正则表达式的？

S -> aS|bX|a
X -> aX|bY|a
Y -> aY|a


answer:
R.E -> (a*(a+ba*a+ba*ba*a))

Answer 1

您应该学习我在回答“从正则表达式构建等效的正则语法”中所写的基本规则，这些规则将帮助您将“正则表达式转换为右或左线性语法”或“右或左线性”语法转换成正则表达式” - 两者。

但是，一种语言可以有多个正则表达式（和语法/自动机）。 下面，我试图解释如何在你的教科书中找到答案中给出的正则表达式。 准确阅读每个步骤并链接答案，以便您下次可以学习自己解决此类问题的方法。

第一步，要回答这样的问题，你应该清楚“这个语法产生了什么语言？” （同样，如果您有自动机，则尝试理解该自动机表示的语言）。

正如我在链接答案中所说，语法规则如下： S → eS | e S → eS | e对应于“plus clouser”并生成字符串e + 。 同样，您有三对这样的规则来在您的语法中生成^{a +} 。

S → aS | a   
X → aX | a  
Y → aY | a    

（注意： a +也可以写成a * a或aa * – 描述一个或多个'a' 。）

另请注意，在语法中，您没有任何“空产生式”，例如A → ∧ ，因此非变量S 、 X或Y可以为空，这意味着空字符串不是语法语言的成员，如： ε ∉ L(G)。

如果您注意到 start-variable 的S产生式规则：

S → aS | bX | a

那么很明显，语言中的字符串 ω 可以以符号'a'或以'b'开头（因为您有两种选择来应用S产生式，要么 (1) S → aS | a给出'a'作为第一个ω 中的符号，或 (2) S → bX用于生成以符号'b'开头的字符串）。

现在，L(G) 中可能的最小长度字符串 ω 是多少？ – 最小长度字符串是"a" ，可以使用产生式规则： S → a 。

接下来需要注意的是"b" ∉L（G），因为如果苹果S → bX再后来就必须更换X在句型bX使用一些X的生产规则，因为我们知道X也不能为空，因此有将总是后一些符号（一个或多个） 'b' -换句话说从感伤bX导出|ω|≥2。

从上面的讨论中可以看出，很明显，使用S产生式规则，您可以分两步生成a*a或a*bX句子形式：

1. 对于a*重复使用S → aS将得到S ⇝ a*S （符号 ⇝ 表示不止一步）

2. 将S S ⇝ a*S rhs 中的S ⇝ a*S a*a或a*bX

此外，如果您想将完整的表达式^✎括起来，“ a*a或a*bX ”可以写成S ⇝ a*(a + bX) S ⇝ (a*(a + bX)) S ⇝ a*(a + bX)或S ⇝ (a*(a + bX)) 。

现在比较S和X产生规则都一样！ 因此，正如我上面对S所示，您还可以描述X可用于生成句子形式X ⇝ (a*(a + bY)) 。

要导出答案中给出的正则表达式，将X替换为(a*(a + bY)) S ⇝ a*(a + bX) (a*(a + bY)) in S ⇝ a*(a + bX) ，您将得到：

S ⇝ a*(a + b X )  
S ⇝ a*(a + b (a*(a + bY)) )

现在，最后的Y产生式规则相对来说非常简单 - 只需用于创建“plus clouser” a + （或a*a ）。

所以让我们也用S派生句形式替换Y

S ⇝ a*(a + b(a*(a + bY)))   
  ⇝ a*(a + b(a*(a + ba*a)))

简化它，应用低分布两次以去除内括号并连接正则表达式 - P(Q + R)可以写为PQ + PR 。 ^✞

  ⇝ a*(a + b(a*(a + ba*a)))     
  ⇝ a*(a + b(a*a + a*ba*a))     
  ⇝ a*(a + ba*a + ba*ba*a)

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✎ ^{: + 在正式语言的正则表达式中使用两种语法 (i) + 作为二元运算符的意思是 – “联合运算” (ii) + 作为一元上标运算符的意思是 – “plus clouser”}
✎ ^{:在编程语言中的正则表达式中 + 仅用于“plus clouser”}
✞ ^{：在正则表达式中，我们使用 ∣ 符号表示并集，但这不完全是联合运算符。 在联合中 (A ∪ B) 与 (B ∪ A) 相同，但在正则表达式中 (A ∣ B) 可能不等于 (B ∣ A)}

Answer 2

您可以从问题中观察到，除了作为 CFG 之外，语法也是正确的线性。 所以你可以为这个正确的线性文法构造一个有限自动机。 现在您已经构建了有限自动机，它们存在一个使用相同语言的正则表达式，并且可以使用本站点中给出的步骤完成转换。