给定y在贝塞尔曲线上获得x

Question

我有一个贝塞尔曲线： (0,0) ， (.25,.1) ， (.25,1)和(1,1) 。

可以在此处以图形方式看到： http : //cubic-bezier.com/#.25,.1,.25,1

我们在x轴上看到的是时间。

这是我的未知数。 这是一个晶胞。 所以我想知道当y为0.5时如何得到x？

谢谢

我看到了这个主题： 给定x立方贝塞尔曲线的y坐标

但是它循环了，我需要避免某些循环，所以我找到了这个主题： 三次贝塞尔曲线-给定X获得Y

但是我不知道如何在js中解三次多项式:(

Answer 1

从数学上讲这是不可能的，除非您可以保证每个x值只有一个y值，即使在单位矩形上也不能（例如，{0,0}，{1,0.6}，{0,0.4 }，{1,1}在中点会很有趣！）。 最快的方法就是简单地构建一个LUT，例如：

var LUT_x = [], LUT_y = [], t, a, b, c, d;
for(let i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  a = (1-t)*(1-t)*(1-t);
  b = (1-t)*(1-t)*t;
  c = (1-t)*t*t;
  d = t*t*t;
  LUT_x.push( a*x1 + 3*b*x2 + 3*c*x3 + d*x4 );
  LUT_y.push( a*y1 + 3*b*y2 + 3*c*y3 + d*y4 );
}

完成，现在，如果要在某个y值中查找x值，只需遍历LUT_y直到找到y值，或者更实际地直到在索引i和i+1处找到两个值以使y值位于某处在它们之间，您将立即知道相应的x值，因为它将在LUT_x中位于相同的索引LUT_x 。

对于具有2个索引i和i+1精确匹配，您只需进行线性插值（即y在i和i+1之间的距离...，对于x坐标，它在i和i+1之间的距离相同）

Answer 2

使用查找表的所有解决方案只能给您近似的结果。 如果那对您足够好，那么您就定了。 如果想要更准确的结果，则需要使用某种数值方法。

对于度数为N的一般贝塞尔曲线，您确实需要循环。 意味着，您需要使用二分法或Newton Raphson方法或类似方法来找到与给定y值相对应的x值，并且这些方法（几乎）总是涉及从初始猜测开始的迭代。 如果有多种解决方案，那么您获得的x值将取决于您的初始猜测。

但是，如果只关心三次贝塞尔曲线，则可以使用卡尔达诺公式找到三次多项式的根，因此可以进行解析解。 在OP中引用的此链接（ 给定x立方贝塞尔曲线的y坐标 ）中，Dave Bakker给出了一个答案，该答案显示了如何使用Cardano公式求解三次多项式。 提供了Javascript中的源代码。 我认为这将是您开始调查的良好来源。

Answer 3

再次感谢迈克的帮助，我们找到了最快的方法。 我把这个函数放在一起，平均花费0.28msg：

function getValOnCubicBezier_givenXorY(options) {
  /*
  options = {
   cubicBezier: {xs:[x1, x2, x3, x4], ys:[y1, y2, y3, y4]};
   x: NUMBER //this is the known x, if provide this must not provide y, a number for x will be returned
   y: NUMBER //this is the known y, if provide this must not provide x, a number for y will be returned
  }
  */
  if ('x' in options && 'y' in options) {
    throw new Error('cannot provide known x and known y');
  }
  if (!('x' in options) && !('y' in options)) {
    throw new Error('must provide EITHER a known x OR a known y');
  }

  var x1 = options.cubicBezier.xs[0];
  var x2 = options.cubicBezier.xs[1];
  var x3 = options.cubicBezier.xs[2];
  var x4 = options.cubicBezier.xs[3];

  var y1 = options.cubicBezier.ys[0];
  var y2 = options.cubicBezier.ys[1];
  var y3 = options.cubicBezier.ys[2];
  var y4 = options.cubicBezier.ys[3];

  var LUT = {
    x: [],
    y: []
  }

  for(var i=0; i<100; i++) {
    var t = i/100;
    LUT.x.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*x1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*x2 + 3*(1-t)*t*t*x3 + t*t*t*x4 );
    LUT.y.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*y1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*y2 + 3*(1-t)*t*t*y3 + t*t*t*y4 );
  }

  if ('x' in options) {
    var knw = 'x'; //known
    var unk = 'y'; //unknown
  } else {
    var knw = 'y'; //known
    var unk = 'x'; //unknown
  }

  for (var i=1; i<100; i++) {
    if (options[knw] >= LUT[knw][i] && options[knw] <= LUT[knw][i+1]) {
      var linearInterpolationValue = options[knw] - LUT[knw][i];
      return LUT[unk][i] + linearInterpolationValue;
    }
  }

}

var ease = { //cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0)
  xs: [0, .25, .25, 1],
  ys: [0, .1, 1, 1]
};

var linear = {
  xs: [0, 0, 1, 1],
  ys: [0, 0, 1, 1]
};

//console.time('calc');
var x = getValOnCubicBezier_givenXorY({y:.5, cubicBezier:linear});
//console.timeEnd('calc');
//console.log('x:', x);