[1 2 .. N]置换的最长增加子序列

Question

这是问题所在：

给定N个元素的数组（1到N），使用一个约束对数组进行排序：您只能将元素移动到数组的开头或数组的末尾。 您至少需要对阵列进行排序多少次？

例如： 2 5 3 4 1 => 1 2 5 3 4 => 1 2 3 4 5 ，所以我需要至少2步。

我找出了一个解决方案： N - length of longest increasing subsequence ，在上面的例子中，答案是5 - 3 = 2 。

我知道一个O(NlogN)算法来找到最长的增长子序列（LIS）。 但是如果数组中的元素在[1, N] ，我想知道是否有O(N)解决方案来找到数组的LIS？

或者是否存在O(N)解决方案来解决初始问题，因为我们知道元素从1到N？

Answer 1

您正在寻找的是增长最快的序列，其中任何两个连续元素之间的差异为1 。

只是找到最长的增加序列是不够的，例如1 5 3 4 2 ，最长的inc seq长度为3但问题只能在3步骤中解决，而不是2 ，据我所知。

为了找到O(N)时间和O(N)空间中差值为1的最长inc seq，可以通过分配例如初始化为全0的大小为N的helper数组来完成。 此阵列将在位置存储i的最长子序列的长度可达i并且如果i尚未见过的这将是0 。

然后你通过未排序的数组，当你找到一个元素x你设置了helper[x] = helper[x-1] + 1并更新了一个max变量。

最后，sort的成本是input_array.length - max

例：

array:   3 1 2
         0 1 2 3
helper:  0 0 0 0
max = 0

step 1:
check element at position 1 which is 3. helper[3] = helper[3 - 1] + 1 == 1:
          0 1 2 3
helper:   0 0 0 1
max = 1

step 2:
check element at position 2 which is 1. helper[1] = helper[1 - 1] + 1 == 1:
          0 1 2 3
helper:   0 1 0 1
max = 1

step 3:
check element at position 3 which is 2. helper[2] = helper[2 - 1] + 1 == 2:
          0 1 2 3
helper:   0 1 2 1
max = 2

cost = 3 - 2 = 1