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[英]Solving system of coupled differential equations using Runge-Kutta in python
[英]Using Runge-Kutta to solve coupled differential equations
我有一个耦合方程组:流体静力平衡方程、质量连续性方程和理想气体状态方程。 这些是,在数学语法中,
\\frac{dP}{dr}=- \\rho*g
, 其中\\rho
是密度, g
是重力加速度。
\\frac{dM}{dr}=4*pi* r^2*\\rho
和
p=\\rho* k_B* T/(\\mu *m_p)
, 其中k_B
是m_p
常数, \\mu
是平均分子量, m_p
是质子质量。
我想使用 Runge-Kutta 数值技术求解这些耦合方程,并在此展示我为解决此问题而设计的 python 代码:
from scipy.constants import m_p,G,k,pi
from pylab import *
#mu may be changed for different molecular composition:
mu=2
def g(r_atm, p_atm):
T=165
return 4*pi*r_atm**2*mu*m_p*p_atm/(k*T)
def f(r_atm,p_atm, m_atm):
T=165
return -mu*m_p*p_atm*G*m_atm/(k*T*r_atm**2)
def rk4_1(g,f, r0, p0,m0, r1, n):
r_atm = [0]*(n + 1)
p_atm = [0]*(n + 1)
m_atm=[0]*(n + 1)
h = (r1 - r0)/n
# h=-20
r_atm[0]=r0
p_atm[0]=p0
m_atm[0]=m0
for i in range(0,10000000):
if p_atm[i]<100000:
k0 = h*g(r_atm[i], p_atm[i])
l0 = h*f(r_atm[i], p_atm[i], m_atm[i])
k1 = h*g(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*k0)
l1 = h*f(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*l0, m_atm[i]+0.5*k0)
k2 = h*g(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*k1)
l2 = h*f(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*l1, m_atm[i]+0.5*k1)
k3 = h*g(r_atm[i] + h, p_atm[i] + k2)
l3 = h*f(r_atm[i] + h, p_atm[i] + l2, m_atm[i]+k2)
r_atm[i+1] = r0 + (i+1)*h
p_atm[i+1] = p_atm[i] + (l0 + 2*l1 + 2*l2 + l3)/6
m_atm[i+1] = m_atm[i] + (k0 + 2*k1 + 2*k2 + k3)/6
else:
break
return h, r_atm, p_atm, m_atm
h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(g,f, 6.991e7, 1e-6*1e5, 1.898e27, 2.0e7,10000000) #bar to pascals (*1e5)
对于压力p_atm
、半径r_atm
和质量m_atm
初始条件,我使用我在h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(g,f, 6.991e7, 1e-6*1e5, 1.898e27, 2.0e7,10000000)
。 请注意,我正在从高层大气(给出初始条件)并在大气中向下推进(注意 h 为负)来解决这个边界值问题。 我的目的是评估这个从10^-1
帕斯卡到100000
帕斯卡的数值积分。 我从运行这段代码中得到的结果是,压力在三个步骤中简单地上升到~1e+123
,所以显然有一些非常错误的流媒体,但是换个角度或视角会有所帮助,因为这是第一个时间我正在执行 Runga-Kutta 方法。
正如沃尔夫所说,除以n
可能只是给你h=0
,这取决于你使用的 Python 版本。 如果您使用的是 2.x,您应该在开头包含from __future__ import division
,或者以其他方式处理除法(例如,除以float(n)
)。 (哦,我想也许您还打算在循环中使用n
,而不是硬编码range(0,10000000)
?代码中存在一些缩进错误,但我想这只是来自贴在这里。)
不过,这似乎不是主要问题。 你说你很早就有高压; 当我运行它时,它变得非常低? 即使有适当的划分,我p_atm[3] = -2.27e+97
得到p_atm[3] = -2.27e+97
,然后我开始得到无穷大( inf
和-inf
)和nan
s。
在不更好地了解具体问题的情况下,很难查看您的实现中是否存在错误,或者这是否仅仅是数值不稳定的问题。 对我来说看起来不错,但我很可能漏掉了一些东西(有点难以阅读。)如果这是您第一次使用 Runge-Kutta,我强烈建议您使用现有的实现,而不是自己尝试把它弄好. 数值计算和避免浮点问题可能非常具有挑战性。 您已经在使用scipy
— 为什么不使用他们实现的 R-K 方法或相关的数值积分解决方案? 例如,看看scipy.integrate 。 如果不出scipy
,如果scipy
集成商无法解决您的问题,至少您更了解您的挑战是什么。
这是一个使用小数的版本顺便说一句,它似乎工作得稍微好一点:
from decimal import Decimal as D
from scipy.constants import m_p,G,k,pi
m_p = D(m_p)
G = D(G)
k = D(k)
pi = D(pi)
# mu may be changed for different molecular composition:
mu = D(2)
def g(r_atm, p_atm):
T = D(165)
return D(4) * pi * r_atm ** D(2) * mu * m_p * p_atm/(k * T)
def f(r_atm,p_atm, m_atm):
T = D(165)
return -mu * m_p * p_atm * G * m_atm/(k * T * r_atm ** D(2))
def rk4_1(g,f, r0, p0,m0, r1, n):
r_atm = [D(0)] * (n + 1)
p_atm = [D(0)] * (n + 1)
m_atm = [D(0)] * (n + 1)
h = (r1 - r0) / n
# h = -20
r_atm[0] = r0
p_atm[0] = p0
m_atm[0] = m0
for i in range(0, 10000000):
if p_atm[i] < 100000:
k0 = h * g(r_atm[i], p_atm[i])
l0 = h * f(r_atm[i], p_atm[i], m_atm[i])
k1 = h * g(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * k0)
l1 = h * f(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * l0,
m_atm[i]+D('0.5') * k0)
k2 = h * g(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * k1)
l2 = h * f(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * l1,
m_atm[i]+D('0.5') * k1)
k3 = h * g(r_atm[i] + h, p_atm[i] + k2)
l3 = h * f(r_atm[i] + h, p_atm[i] + l2, m_atm[i]+k2)
r_atm[i + 1] = r0 + (i + 1) * h
p_atm[i + 1] = p_atm[i] + (l0 + D('2') * l1 + D('2') * l2 +
l3)/D('6')
m_atm[i + 1] = m_atm[i] + (k0 + D('2') * k1 + D('2') * k2 + k3)/D('6')
else:
break
return h, r_atm, p_atm, m_atm
h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(
g,
f,
D('6.991e7'),
D('1e-6') * D('1e5'),
D('1.898e27'),
D('2.0e7'),
10000000,
) # bar to pascals (*1e5)
print 'h', h
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