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[英]Solving system of coupled differential equations using Runge-Kutta in python
[英]Solving 3 coupled nonlinear differential equations using 4th order Runge Kutta in python
我正在尝试 plot 带电粒子围绕 Reissner–Nordström 黑洞(带电黑洞)的轨道。
我有三个二阶微分方程和三个一阶微分方程。 由于问题的性质,每个导数都是根据适当的时间而不是时间 t。 运动方程如下。
我正在使用四阶龙格库塔方法来整合轨道。 我的困惑,我最有可能犯的错误来自这样一个事实,即通常当你有一个二阶耦合微分方程时,你会将它简化为 2 个一阶微分方程。 然而,在我的问题中,我得到了 3 个一阶微分方程以及它们相应的二阶微分方程。 我假设因为我得到了这些一阶方程,所以我根本不需要减少二阶。 这些方程是非线性的这一事实确实使事情变得更加复杂。
我确信我可以使用 Runge kutta 来解决这些问题,但是我不确定我对运动方程的实现。 当我运行代码时,我收到一个错误,即负数在 F2 的平方根之下,但事实并非如此,因为 F2 应该正好等于零(无疑是 F1 引起的精度问题)。 然而,即使我在 F1、F2、F3 的平方根下取一切的绝对值...我的 angular 动量 L 和能量 E 也没有被守恒。 我主要希望有人评论我在 Runge kutta 循环中使用微分方程的方式,并告诉我应该如何减少二阶微分方程。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math as math
#=============================================================================
h=1
M = 1 #Mass of RN blackhole
r = 3*M #initital radius of particle from black hole
Q = 0 #charge of particle
r_s = 2*M #Shwar radius
S = 0 # initial condition for RK4
V = .5 # Initial total velocity of particle
B = np.pi/2 #angle of initial velocity
V_p = V*np.cos(B) #parallel velocity
V_t = V*np.sin(B) #transverse velocity
t = 0
Theta = 0
E = np.sqrt(Q**2-2*r*M+r**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
L = V_t*r/(np.sqrt(1-V**2))
r_dot = V_p*np.sqrt(r**2-2*M+Q**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
Theta_dot = V_t/(r*np.sqrt(1-V**2))
t_dot = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2)
#=============================================================================
while(r>2*M and r<10*M): #Runge kutta while loop
A1 = 2*(Q**2-M*r) * r_dot*t_dot / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines T double dot fro first RK4 step
B1 = -2*Theta_dot*r_dot / r #defines theta double dot for first RK4 step
C1 = (r-2*M*r+Q**2)*(Q**2-M*r)*t_dot**2 / r**5 + (M*r-Q**2)*r_dot**2 / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines r double dot for first RK4 step
D1 = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2) #defines T dot for first RK4 step
E1 = L/r**2 #defines theta dot for first RK4 step
F1 = math.sqrt(-(1-r_s/r+Q**2/r**2) * (1-(1-r_s/r+Q**2/r**2)*D1**2 + r**2*E1**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot_1 = t_dot + (h/2) * A1
Theta_dot_1 = Theta_dot + (h/2) * B1
r_dot_1 = r_dot + (h/2) * C1
t_1 = t + (h/2) * D1
Theta_1 = Theta + (h/2) * E1
r_1 = r + (h/2) * F1
S_1 = S + (h/2)
A2 = 2*(Q**2-M*r_1) * r_dot_1*t_dot_1 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
B2 = -2*Theta_dot_1*r_dot_1 / r_1
C2 = (r_1-2*M*r_1+Q**2)*(Q**2-M*r_1)*t_dot_1**2 / r_1**5 + (M*r_1-Q**2)*r_dot_1**2 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
D2 = E*r_1**2/(r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
E2 = L/r_1**2
F2 = np.sqrt(-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2) * (1-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2)*D2**2 + r_1**2*E2**2))
t_dot_2 = t_dot + (h/2) * A2
Theta_dot_2 = Theta_dot + (h/2) * B2
r_dot_2 = r_dot + (h/2) * C2
t_2 = t + (h/2) * D2
Theta_2 = Theta + (h/2) * E2
r_2 = r + (h/2) * F2
S_2 = S + (h/2)
A3 = 2*(Q**2-M*r_2) * r_dot_2*t_dot_2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
B3 = -2*Theta_dot_2*r_dot_2 / r_2
C3 = (r_2-2*M*r_2+Q**2)*(Q**2-M*r_2)*t_dot_2**2 / r_2**5 + (M*r_2-Q**2)*r_dot_2**2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
D3 = E*r_2**2/(r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
E3 = L/r_2**2
F3 = np.sqrt(-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2) * (1-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2)*D3**2 + r_2**2*E3**2))
t_dot_3 = t_dot + (h/2) * A3
Theta_dot_3 = Theta_dot + (h/2) * B3
r_dot_3 = r_dot + (h/2) * C3
t_3 = t + (h/2) * D3
Theta_3 = Theta + (h/2) * E3
r_3 = r + (h/2) * F3
S_3 = S + (h/2)
A4 = 2*(Q**2-M*r_3) * r_dot_3*t_dot_3 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
B4 = -2*Theta_dot_3*r_dot_3 / r_3
C4 = (r_3-2*M*r_3+Q**2)*(Q**2-M*r_3)*t_dot_3**2 / r_3**5 + (M*r_3-Q**2)*r_dot_3**2 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
D4 = E*r_3**2/(r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
E4 = L/r_3**2
F4 = np.sqrt(-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2) * (1-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2)*D3**2 + r_3**2*E3**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot = t_dot + (h/6.0) * (A1+(2.*A2)+(2.0*A3) + A4)
Theta_dot = Theta_dot + (h/6.0) * (B1+(2.*B2)+(2.0*B3) + B4)
r_dot = r_dot + (h/6.0) * (C1+(2.*C2)+(2.0*C3) + C4)
t = t + (h/6.0) * (D1+(2.*D2)+(2.0*D3) + D4)
Theta = Theta + (h/6.0) * (E1+(2.*E2)+(2.0*E3) + E4)
r = r + (h/6.0) * (F1+(2.*F2)+(2.0*F3) + F4)
S = S+h
print(L,r**2*Theta_dot)
plt.axes(projection = 'polar')
plt.polar(Theta, r, 'g.')
取您提供的三个二阶微分方程。 这些是由适当时间参数化的测地线方程。 但是,您的原始度量是旋转不变的(即 SO(3) 不变),因此它具有一组简单的守恒定律,以及度量的守恒(即适当时间的守恒)。 这意味着t
和theta
的二阶微分方程可以积分一次,从而得到一组t
和theta
的两个一阶微分方程和一个r
的二阶微分方程:
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( (r**2-2*M*r + Q**2)*(Q**2 - M*r)/r**5) * (dt/ds)**2
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
您可以在这里使用不同的方式 go,其中一种是通过将上面的前两个方程代入轨道上评估的度量等于 1 的方程,推导r
的一阶微分运动方程和方程。但您也可以只是 go 直接在这里并将dt/ds
方程的右侧代入r
的第三个方程,将系统表示为
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
并且为了避免使用平方根和复杂性(平方根也是昂贵的计算,而有理函数是简单的更快的代数计算),定义四个一阶微分方程的等效系统
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
dr/ds = u
du/ds = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * u**2
借助t, theta, r
及其导数dt/dt, dtheta/dt, dr/dt
的初始条件,您可以计算第一个和第二个等式中使用的常数c_0
和c_1
,然后计算u = dr/dt
的初始条件u = dr/dt
。
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