[英]Solving 3 coupled nonlinear differential equations using 4th order Runge Kutta in python
我正在嘗試 plot 帶電粒子圍繞 Reissner–Nordström 黑洞（帶電黑洞）的軌道。
我有三個二階微分方程和三個一階微分方程。 由於問題的性質，每個導數都是根據適當的時間而不是時間 t。 運動方程如下。
我正在使用四階龍格庫塔方法來整合軌道。 我的困惑，我最有可能犯的錯誤來自這樣一個事實，即通常當你有一個二階耦合微分方程時，你會將它簡化為 2 個一階微分方程。 然而，在我的問題中，我得到了 3 個一階微分方程以及它們相應的二階微分方程。 我假設因為我得到了這些一階方程，所以我根本不需要減少二階。 這些方程是非線性的這一事實確實使事情變得更加復雜。
我確信我可以使用 Runge kutta 來解決這些問題，但是我不確定我對運動方程的實現。 當我運行代碼時，我收到一個錯誤，即負數在 F2 的平方根之下，但事實並非如此，因為 F2 應該正好等於零（無疑是 F1 引起的精度問題）。 然而，即使我在 F1、F2、F3 的平方根下取一切的絕對值...我的 angular 動量 L 和能量 E 也沒有被守恆。 我主要希望有人評論我在 Runge kutta 循環中使用微分方程的方式，並告訴我應該如何減少二階微分方程。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math as math
#=============================================================================
h=1
M = 1 #Mass of RN blackhole
r = 3*M #initital radius of particle from black hole
Q = 0 #charge of particle
r_s = 2*M #Shwar radius
S = 0 # initial condition for RK4
V = .5 # Initial total velocity of particle
B = np.pi/2 #angle of initial velocity
V_p = V*np.cos(B) #parallel velocity
V_t = V*np.sin(B) #transverse velocity
t = 0
Theta = 0
E = np.sqrt(Q**2-2*r*M+r**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
L = V_t*r/(np.sqrt(1-V**2))
r_dot = V_p*np.sqrt(r**2-2*M+Q**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
Theta_dot = V_t/(r*np.sqrt(1-V**2))
t_dot = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2)
#=============================================================================
while(r>2*M and r<10*M): #Runge kutta while loop
A1 = 2*(Q**2-M*r) * r_dot*t_dot / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines T double dot fro first RK4 step
B1 = -2*Theta_dot*r_dot / r #defines theta double dot for first RK4 step
C1 = (r-2*M*r+Q**2)*(Q**2-M*r)*t_dot**2 / r**5 + (M*r-Q**2)*r_dot**2 / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines r double dot for first RK4 step
D1 = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2) #defines T dot for first RK4 step
E1 = L/r**2 #defines theta dot for first RK4 step
F1 = math.sqrt(-(1-r_s/r+Q**2/r**2) * (1-(1-r_s/r+Q**2/r**2)*D1**2 + r**2*E1**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot_1 = t_dot + (h/2) * A1
Theta_dot_1 = Theta_dot + (h/2) * B1
r_dot_1 = r_dot + (h/2) * C1
t_1 = t + (h/2) * D1
Theta_1 = Theta + (h/2) * E1
r_1 = r + (h/2) * F1
S_1 = S + (h/2)
A2 = 2*(Q**2-M*r_1) * r_dot_1*t_dot_1 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
B2 = -2*Theta_dot_1*r_dot_1 / r_1
C2 = (r_1-2*M*r_1+Q**2)*(Q**2-M*r_1)*t_dot_1**2 / r_1**5 + (M*r_1-Q**2)*r_dot_1**2 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
D2 = E*r_1**2/(r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
E2 = L/r_1**2
F2 = np.sqrt(-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2) * (1-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2)*D2**2 + r_1**2*E2**2))
t_dot_2 = t_dot + (h/2) * A2
Theta_dot_2 = Theta_dot + (h/2) * B2
r_dot_2 = r_dot + (h/2) * C2
t_2 = t + (h/2) * D2
Theta_2 = Theta + (h/2) * E2
r_2 = r + (h/2) * F2
S_2 = S + (h/2)
A3 = 2*(Q**2-M*r_2) * r_dot_2*t_dot_2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
B3 = -2*Theta_dot_2*r_dot_2 / r_2
C3 = (r_2-2*M*r_2+Q**2)*(Q**2-M*r_2)*t_dot_2**2 / r_2**5 + (M*r_2-Q**2)*r_dot_2**2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
D3 = E*r_2**2/(r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
E3 = L/r_2**2
F3 = np.sqrt(-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2) * (1-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2)*D3**2 + r_2**2*E3**2))
t_dot_3 = t_dot + (h/2) * A3
Theta_dot_3 = Theta_dot + (h/2) * B3
r_dot_3 = r_dot + (h/2) * C3
t_3 = t + (h/2) * D3
Theta_3 = Theta + (h/2) * E3
r_3 = r + (h/2) * F3
S_3 = S + (h/2)
A4 = 2*(Q**2-M*r_3) * r_dot_3*t_dot_3 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
B4 = -2*Theta_dot_3*r_dot_3 / r_3
C4 = (r_3-2*M*r_3+Q**2)*(Q**2-M*r_3)*t_dot_3**2 / r_3**5 + (M*r_3-Q**2)*r_dot_3**2 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
D4 = E*r_3**2/(r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
E4 = L/r_3**2
F4 = np.sqrt(-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2) * (1-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2)*D3**2 + r_3**2*E3**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot = t_dot + (h/6.0) * (A1+(2.*A2)+(2.0*A3) + A4)
Theta_dot = Theta_dot + (h/6.0) * (B1+(2.*B2)+(2.0*B3) + B4)
r_dot = r_dot + (h/6.0) * (C1+(2.*C2)+(2.0*C3) + C4)
t = t + (h/6.0) * (D1+(2.*D2)+(2.0*D3) + D4)
Theta = Theta + (h/6.0) * (E1+(2.*E2)+(2.0*E3) + E4)
r = r + (h/6.0) * (F1+(2.*F2)+(2.0*F3) + F4)
S = S+h
print(L,r**2*Theta_dot)
plt.axes(projection = 'polar')
plt.polar(Theta, r, 'g.')
取您提供的三個二階微分方程。 這些是由適當時間參數化的測地線方程。 但是，您的原始度量是旋轉不變的（即 SO(3) 不變），因此它具有一組簡單的守恆定律，以及度量的守恆（即適當時間的守恆）。 這意味着t和theta的二階微分方程可以積分一次，從而得到一組t和theta的兩個一階微分方程和一個r的二階微分方程：
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( (r**2-2*M*r + Q**2)*(Q**2 - M*r)/r**5) * (dt/ds)**2
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
您可以在這里使用不同的方式 go，其中一種是通過將上面的前兩個方程代入軌道上評估的度量等於 1 的方程，推導r的一階微分運動方程和方程。但您也可以只是 go 直接在這里並將dt/ds方程的右側代入r的第三個方程，將系統表示為
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
並且為了避免使用平方根和復雜性（平方根也是昂貴的計算，而有理函數是簡單的更快的代數計算），定義四個一階微分方程的等效系統
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
dr/ds = u
du/ds = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * u**2
借助t, theta, r及其導數dt/dt, dtheta/dt, dr/dt的初始條件，您可以計算第一個和第二個等式中使用的常數c_0和c_1 ，然后計算u = dr/dt的初始條件u = dr/dt 。
在python中使用Runge-Kutta求解耦合微分方程組
[英]Solving system of coupled differential equations using Runge-Kutta in python
名稱錯誤。，通過四階龍格庫塔算法求解耦合微分方程時
[英]Name Error., While solving Coupled Differential equation by 4th order Runge kutta algorithm
使用 Runge-Kutta 求解數值四耦合微分方程
[英]Solving Numerical four coupled differential equations using Runge-Kutta
用四階龍格庫塔求解阻尼振盪器的二階微分方程
[英]Using 4th order Runge Kutta to solve the 2nd order differential equation of a damped oscillator
用Runge Kutta 4th Order解決Python中的ODE系統，意外錯誤
[英]Solving an ODE System in Python with Runge Kutta 4th Order , unexpected ERROR
python中平流方程中四階Runge-Kutta的編程
[英]Programming of 4th order Runge-Kutta in advection equation in python
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