颗粒过滤器中有替换采样与无替换采样之间的差异

Question

对于简单粒子过滤器的重新采样过程，从统计偏差和实际意义上讲，有替换采样与无替换采样之间有什么区别？

我相信我想到的“ 无替换”重新采样方法与“ 无替换”的常规统计方法不同。

在更具体的情况下：

在模拟和观察粒子过滤器的过程之后，我得到了一个长度为N的两元素元组（s，p）的列表。 s代表我相信的状态，概率为p 。

• 与更换采样将是：

  1.为列表中的每个元组计算p的累积和。

  2.从[0，1）中提取随机数，然后查看每个随机数落入累积和中的哪个存储桶，将与该存储桶对应的元素复制为下一轮的新粒子。

这是因为更换每个随机数是独立的另一个，每个旧颗粒具有不管有多少新的粒子已经被产生的机会等于p来进行选择，。

• 无需更换的采样将是：

  1.为列表中的每个元组计算p的累积和。

  2.以算术序列生成一个浮点数列表，其中第i个元素等于i *（1 / N） 。 将其用作随机数以插入累积和桶。 您可以想象它是用具有相等距离条的栏杆对累积和p列表进行切片。 同样，每个存储桶的对应元素被复制以成为新粒子。

这是不用更换，因为一旦一个桶的选择等差数列用完，它就不会被再次选择。

实际示例：

N = 8

（ s ， p ）列表：（A，0.1），（B，0.2），（C，0.3），（D，0.4）

与更换，假定随机数：0.2，0.8，0.4，0.7，0.6，0.3，0.9，0.1，新的列表粒子变为B，d，C，d，C，B，d，A

不替换的算术序列为：0.125、0.25、0.375、0.5、0.625、0.75、0.875、0.99999999，新粒子列表变为B，B，C，C，D，D，D，D

Answer 1

迈尔达德是对的。 您的抽样方法中有一个错误。 也有一些方法可以修复此错误（例如，删除每个样本后重做该过程），但是从概念上讲，在粒子过滤器中进行替换而不进行采样只是一个坏主意。

采样步骤中的目标是从特定时间步的真实状态概率分布中抽取样本。 因为我们用有限数量的粒子来近似此分布，所以替换采样实质上会修改每个样本之后的分布，因此最终样本所来自的分布与第一个样本所源自的分布不同。

更具体地讲，考虑一种假设情况，其中在状态A和状态B中有两个质量分别为0.01和0.99的粒子。 如果我们获取两个样本进行替换，则最有可能（概率为0.98）得到状态B的两个粒子。但是，如果我们获取两个样本而不进行替换，则每个样本总是得到一个粒子。 这会在原始粒子分布中丢弃大量信息，并用基本均匀的分布替换它。

该特定示例是人为设计的，但是考虑到通常在粒子过滤器中，粒子数是恒定的。 也就是说，您对粒子进行采样，重新加权，然后再次对相同的数字重新采样。 在这种设置下，无需替换即可重采样仅会复制原始粒子集（因为您将对每个粒子进行采样），从而完全忽略了重新加权步骤的效果！

Answer 2

我相信您所描述的“不重采样”方法是错误的，因为它保证了如果第一个元素的可能性小于1 / N ，那么它将不会被选择，因此这些状态将被算法自动拒绝。

将第一个元素与中间元素进行比较，即使它的可能性小于1 / N ，仍然可以选择中间元素。 这意味着算法相对于第一个元素偏向中间。

这不是重采样步骤中想要的。 一切都应该有公平的非零传播机会。 否则，您将丢失概率正确性保证。