卡尔曼滤波器（一维）：几种方法？

Question

我试图了解卡尔曼滤波器的工作原理，并且因为多维变体对于一开始来说太混乱了，所以我从一维示例开始。

我找到了 3 个不同的来源来解释温度计的场景，但所有这些场景都实现了略有不同的方程，我不明白这一点。

我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正起作用（它高度适应测量，并没有真正考虑其上的噪声）。

因此，在我浪费更多时间尝试解决方案 1 或 3（直到现在我才读过）之前：有人可以为一维卡尔曼滤波器提供清晰的解释和/或代码示例吗？

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解决方案1

// x_est: current estimate;           p: current estimate error;
// a:     constant of the system;    kg: kalman gain
// z:     current observation; 

// Predict
x_est   =   a * x_est
p       =   a * p * a

// Update
kg      =   p  / (p  + r)
x_est   =   x_est + kg * (z - x_est)
p       =   (1 - kg) * p

作者（此处）仅说明我们仅更改当前值，因为温度计无需考虑最后一个值。

所以他简化了：

p[k] = (1 - kg) * p[k-1]到p = (1 - kg) * p

x_est[k] = x_est[k-1] + kg * (z - x_est[k-1])到x_est = x_est + kg * (z - x_est)

...等等...

我不明白为什么这是可能的。 我认为卡尔曼滤波器的主要部分之一是考虑当前观察值z是否有用（通过卡尔曼增益）。 因此，对于高卡尔曼增益kg * (z - x_est[k-1]) ，将增量z - x_est[k-1]的“大块”添加到新估计中。 如果总是计算当前值，这整件事不是变得毫无意义吗？

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解决方案2

# q: process variance / process noise
# r: error in measurement

x_est = x_est
p     = p + q;

k     = p / (p + r);
x_est = x_est + k * (z – x_est);
p     = (1 – k) * p;

这几乎是一样的，但作者甚至没有解释为什么x[k-1]和p[k-1]可以更改为x和p 。

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解决方案3

# Q: process variance / process noise
# R: error in measurement

# prediction
x_est_kminus1[k] = x_est[k - 1]
p_kminus1[k]        = p[k - 1] + Q

# update
kg[k]     = p_kminus1[k] / (p_kminus1[k] + R)
x_est[k] = x_est_kminus1[k] + kg[k] * (z[k] - x_est_kminus1[k])
p[k]     = (1 - kg[k]) * p_kminus1[k]

在这个解决方案中，作者有两个不同的列表用于x_est （ x_est本身和x_est_kminus1 ）和p （ p本身和p_kminus1 ）。

是否需要两个列表，否则 p[k] 将被计算两次（在预测和更新步骤中）？

Answer 1

所有这些解都是一般方程的特例，我们必须看看每个方程有什么特别之处。

适当的方程

让我们从一维情况的适当一般方程开始：

# prediction
x[k] = a * x[k - 1]
p[k] = a * p[k - 1] * a + q
# update
y = z - h * x[k]
kg = p * h / (h * p * h + r)
x[k] = x[k] + kg * y
p[k] = (1 - kg * h) * p[k]

• x - 状态
• p - 误差（协方差）
• a - 状态转换
• q - 转换错误
• z - 测量
• h - 状态到测量的转换
• y - 我们根据预测期望测量的值与我们实际测量的值之间的差异
• kg - 卡尔曼增益
• r - 测量误差

模型的所有参数（ a 、 q 、 r 、 h ）原则上也可以有一个索引k并随着系统的发展而变化。 但在简单的情况下，它们都可以视为常数。

解与正确方程有何不同

只有解决方案 1 实现了a ，这很好。 a告诉您状态如何从一个步骤更改为另一个步骤，如果您假设温度是固定的，那么a == 1 ，就像在解决方案 2 和 3 中一样。

解决方案 1 没有q 。 q是我们可以估计过程误差的地方。 同样，如果该过程是关于系统静止的（ a == 1 ），那么我们可以设置q = 0 。

您的解决方案都没有h ，这是观察转换（如何从测量到状态）。 如果您要根据温度的测量值估计温度，则h = 1 。

h可能与 1 不同的一个例子是，如果您测量的不是您感兴趣的估计值，例如使用湿度测量值来估计温度。 那么h将是线性变换T(humidity) = h * humidity 。 我强调线性，因为以上是线性卡尔曼滤波器方程，它们仅适用于线性（在数学意义上）系统。

当前和上一步问题

k与k - 1以及具有x_est和x_est_kminus1的问题纯粹是实现问题。 在这方面，您的所有解决方案都是相同的。

您对解决方案 1 中的k和k - 1想法是错误的。 只有预测阶段需要考虑当前和上一步（因为它是基于上一步对当前状态的预测），而不是更新步骤。 更新步骤作用于预测。

从可读性的角度来看，解决方案 3 最接近数学方程。 原则上，预测步骤还没有给我们x_est[k] ，但更像是x_est[k] predicted_x_est[k] 。 然后在这个更新步骤运行predicted_x_est[k]和赋予我们的实际x_est[k]

然而正如我所说，所有的实现都是等价的，因为当它们被编程时，你可以看到在预测步骤之后，过去不再需要了。 因此，您可以安全地为p和x使用一个变量，而无需保留列表。

关于卡尔曼增益

你写了：

因此，对于高卡尔曼增益 kg * (z - x_est[k-1])，将增量 z - x_est[k-1] 的“大块”添加到新估计中。 如果总是计算当前值，这整件事不是变得毫无意义吗？

在这些情况下，卡尔曼增益只能在 0 和 1 之间。什么时候最大？ 当r （测量误差）为 0 时，这意味着我们无限信任我们的测量结果。 然后等式简化为

x_est = x_est + z - x_est

这意味着我们丢弃我们的预测值（右侧的x_est ）并将我们更新的估计值设置为等于我们的测量值。 当我们无限信任我们测量的东西时，这是一件有效的事情。

适应测量

我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正起作用（它高度适应测量，并没有真正考虑其上的噪声）。

调整卡尔曼滤波器很棘手，需要对系统有深入的了解以及对q和r正确估计。 请记住， q是过程（状态演化）的误差， r是我们测量的误差。 如果您的卡尔曼滤波器过度适应测量，则意味着：

• q太大
• r太小

或两者的结合。 您将不得不玩弄这些值以找到有效的值。