计算代表n美分的方式数量

Question

使用不限数量的25美分，10美分，5美分和1美分来研究计算n美分的方式数量的算法难题。 提到了几种不同的解决方案，并对下面的解决方案有疑问，我不确定为什么我们有把握if (index >= denoms.length - 1)必须有解决方案，并且必须有唯一的解决方案？ 是仅仅因为我们有cent = 1个特殊值而进行特殊优化，还是采用更通用的优化方法？ 欣赏更多见解。

import java.util.Arrays;

public class Question { 
    public static int makeChange(int amount, int[] denoms, int index) {
        if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining -> one way to do it
        int denomAmount = denoms[index];
        int ways = 0;
        for (int i = 0; i * denomAmount <= amount; i++) {
            int amountRemaining = amount - i * denomAmount;
            ways += makeChange(amountRemaining, denoms, index + 1); // go to next denom
        }
        return ways;
    }

    public static int makeChange1(int n) {
        int[] denoms = {25, 10, 5, 1};
        return makeChange(n, denoms, 0);
    }

    public static int makeChange2(int n) {
        int[] denoms = {25, 10, 5, 1};
        int[][] map = new int[n + 1][denoms.length];
        return makeChange2(n, denoms, 0, map);
    }

    public static int makeChange2(int amount, int[] denoms, int index, int[][] map) {
        if (map[amount][index] > 0) { // retrieve value
            return map[amount][index];
        }
        if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining -> one way to do it
        int denomAmount = denoms[index];
        int ways = 0;
        for (int i = 0; i * denomAmount <= amount; i++) {
            // go to next denom, assuming i coins of denomAmount
            int amountRemaining = amount - i * denomAmount;
            ways += makeChange2(amountRemaining, denoms, index + 1, map);
        }
        map[amount][index] = ways;
        return ways;
    }   

    public static int makeChange(int n) {
        int x = makeChange1(n);
        int y = makeChange2(n);
        if (x != y) {
            System.out.println("Error: " + x + " " + y);
        }
        return x;
    }

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 0; i <= 100; i++) {
            System.out.println("makeChange(" + i + ") = " + makeChange(i));
        }
    }

}

Answer 1

如果在index > denoms.length - 1时不返回，则denoms[index]将给出ArrayIndexOutOfBoundsException 。

所以现在的问题是，为什么当index == denoms.length - 1时它将return 1 index == denoms.length - 1 ？

原因很简单，因为最后一个面额仅为1美分！

amountRemaining任何amountRemaining都只有一种方法可以解决1美分的问题。

因此，如果将数组更改为{25, 10, 5, 2} makeChange(3) {25, 10, 5, 2} ，则会发现解决方案已损坏（当涉及{25, 10, 5, 2} makeChange(3) {25, 10, 5, 2} ， makeChange(3)将返回1 ，但是您看，它应该是0 ）。

如果要在最后一个符号不是1美分的情况下解决问题，则只需更改if (index >= denoms.length - 1) return 1即可：

if (index > denoms.length - 1)
    return 0;
if (index == denoms.length - 1) {
    // one denom remaining
    if (amount % denoms[denoms.length - 1] == 0) {
        return 1;
    }
    else {
        return 0;
    }
}

然后用{25, 10, 5, 2} ：

makeChange(1) = 0
makeChange(2) = 1
makeChange(3) = 0

编辑：

是仅仅因为我们有cent = 1个特殊值而进行特殊优化，还是采用更通用的优化方法？

您可以称其为优化，但正如我的代码所给出的，您可以使用任意cent = x ，只需按amount % denoms[denoms.length - 1] == 0 。

Answer 2

如果我没记错的话，这是一个很大的硬币兑换问题 。

我假设您了解问题所在，因为if (index >= denoms.length - 1) return 1; ，则您的问题针对该行if (index >= denoms.length - 1) return 1; ，因此我将省略说明。

有趣的是，我在Eclipse中使用最小面额分别为1、2、3和4美分[IE 25/10/5/1，OR 25/10/5/2，OR 25/10/5/3，或25/10/5/4]。 在每一次运行中，我都得到了完全相同的解决方案（它们代表了最小的子问题）。 那么为什么会这样呢？ 如果我有3美分，那么25/10/5/4的解决方案应该为0，这是没有道理的，因为我不能拿单个硬币（假设最小面额大于该数量需要多少分？但是，如果您将1的返回方式视为找不到解决方案的方式，那该怎么办呢？也就是说，如果1的返回代表空硬币集，其中所取硬币没有达到要求的数量（或没有取硬币）？

取问题（n = 6）中的6美分，面额为25/10/5/4，我们得到5 + none [Invalid]和4 + none [Invalid]的解。 如果最小面额为3，则执行相同的操作，则得到5 +无[无效]和3 + 3。 重复最小的2美分，我们得到5 +无[无效]和2 + 2 +2。重复最小的1美分，我们得到5 + 1和1 +1 ... + 1。被设为2，尽管无效案例！

这是因为您提供的解决方案假定无效方式（但取走了硬币，并且当n的值大于最小面额时，空集被视为一种方式）。 这就是为什么即使当n = 10时（2是最小的面额），我们也会得到4种方式（10、5 * 2、2 * 5和5 + 2 * 2 [无效]）。 请注意，无效案例是“最佳解决方案”，这意味着这些案例是与每个面额相关的“最佳”无效案例。

我确实相信，Sayakiss提供的解决方案可消除这种无效计数方式的问题（特殊情况是n = 0返回1种方式，即不带数字）。