平衡二叉树底层的节点数

Question

我想知道在研究二叉搜索树时出现的两个问题。 它们如下：

具有 n 个节点的平衡二叉搜索树的最底层节点的最大数量是多少？

具有 n 个节点的平衡二叉搜索树的最低层节点数是多少？

我在教科书中找不到任何关于此的公式。 有什么办法可以回答这些问题吗？ 请让我知道。

Answer 1

假设它是一棵完整的二叉树，叶子中的节点数将始终等于(n/2)+1 。

对于最小节点数，节点总数可以为1 （满足应该是平衡树的条件）。

Answer 2

使用符号：

• H = 平衡二叉树高度
• L = 高度为H的完整二叉树的叶子总数
• N = 高度为H的完整二叉树中的节点总数

如下所示，该关系为L = (N + 1) / 2 。 这将是给定树高H的最大叶节点数。 给定高度的最小节点数是1 （不能为零，因为这样树的高度会减一）。

绘制高度增加的树，可以观察到：

H = 1, L = 1, N = 1
H = 2, L = 2, N = 3
H = 3, L = 4, N = 7
H = 4, L = 8, N = 15
...

树高 ( H ) 与叶子总数 ( L ) 和节点总数 ( N ) 之间的关系变得明显：

L = 2^(H-1)
N = (2^H) - 1

使用数学归纳法很容易证明正确性。

上面的例子表明，对于小H是正确的。 只需输入H的值（例如H=1 ）并计算L和N 。 假设公式对某些H ，可以证明它们对HH=H+1也成立：

对于L ，假设L=2^(H-1)为真。 由于每个节点有两个子节点，将高度增加 1 将用两个新叶子替换每个叶子节点，从而有效地将叶子总数加倍。 因此，在HH=H+1情况下，叶子的总数（ LL ）将加倍：

LL = L * 2
   = 2^(H-1) * 2
   = 2^(H)
   = 2^(HH-1)

对于N ，假设N=(2^H)-1为真。 将高度增加 1 ( HH=H+1 ) 使节点总数增加了添加的叶节点总数。 因此，

NN = N + LL
   = (2^H) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2^(HH-1) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2 * 2^(HH-1) - 1
   = (2^HH) - 1

应用数学归纳法，证明其正确性。

H可以用N表示：

N = (2^H) - 1        // +1 to both sides
N + 1 = 2^H          // apply log2 monotone function to both sides
log2(N+1) = log2(2^H)
          = H * log2(2)
          = H

L和N之间的直接关系（这是所问问题的答案）是：

L = 2^(H - 1)                 // replace H = log2(N + 1)
  = 2^(log2(N + 1) - 1)
  = 2^(log2(N + 1) - log2(2))
  = 2^(log2( (N + 1) / 2 ))
  = (N + 1) / 2

对于 Big O 分析，常量被丢弃，因此二叉搜索树查找时间复杂度（即H相对于输入大小N ）为O(log2(N)) 。 另外，请记住更改对数底的公式：

log2(N) = log10(N) / log10(2)

并丢弃常数因子1/log10(2) ，其中10可以有任意对数底，时间复杂度仅为O(log(N))而不管选择的对数底常数如何。

Answer 3

我从我的教授那里得到了答案。

1）最后一层最大节点数： ⌈n/2⌉

如果有一个有 7 个节点的平衡二叉搜索树，那么答案将是 ⌈7/2⌉ = 4，对于一个有 15 个节点的树，答案将是 ⌈15/2⌉ = 8。 但令人不安的是事实上，只有当平衡树的最后一层从左到右完全填充时，这个公式才会给出正确的答案。 例如，具有 5 个节点的平衡二叉搜索树，上述公式给出的答案为 3，这是不正确的，因为具有 5 个节点的树在最后一级最多可以包含 4 个节点。 所以我猜他的意思是完全平衡的二叉搜索树。

2）最后一层的最小节点数： 1

Answer 4

二叉树中L层的最大节点数为2^L （假设顶点为 0 层）。 这很容易看出，因为在每个级别，您都会从前一片叶子中生成 2 个孩子。 它是平衡/搜索树的事实是无关紧要的。 所以你必须找到最大的L使得2^L < n并从n减去它。 在数学语言中是：

最小节点数取决于您平衡树的方式。 可以有高度平衡的树，重量平衡的树，我假设其他平衡的树。 即使使用高度平衡的树，您也可以定义平衡树的含义。 因为从技术上讲，高度为N + 2的2^N节点树仍然是平衡树。