找到必须添加以使二叉树平衡的最小节点数？

Question

假设你有一个任意的二叉树。 如果所有节点都满足以下条件，我们将称该树为平衡树：

1. 该节点是叶子，或
2. 左子树的高度和右子树的高度最多相差±1，左右子树本身是平衡的。

是否有一种有效的算法来确定需要添加到树中以使其平衡的最小节点数？ 为简单起见，我们假设节点只能作为叶节点插入（就像将节点插入不进行重新平衡的二叉搜索树的方式）。

Answer 1

以下树符合您的定义，但对我来说似乎不太平衡：

编辑这个答案是错误的，但它有足够有趣的东西，我不想删除它。 该算法生成一棵平衡树，但不是最小的树。 它添加的节点数为：

其中n覆盖树中的所有节点， lower(n)是具有较低深度的n子节点的深度，而upper(n)是具有较高深度的n子节点的深度。 利用前k斐波那契数的和为fib(k+2)-1的事实，我们可以用fib(upper(n)) - fib(lower(n) + 2)替换内部和。

该公式（或多或少）源自以下算法，用于向树添加节点，使其平衡（在python中，仅显示相关算法）：

def balance(tree, label):
  if tree is None:
    return (None, 0)
  left, left_height = balance(tree.left_child, label)
  right, right_height = balance(tree.right_child, label)
  while left_height < right_height - 1:
    left = Node(label(), left, balanced_tree(left_height - 1, label))
    left_height += 1
  while right_height < left_height - 1:
    right = Node(label(), right, balanced_tree(right_height - 1, label))
    right_height += 1
  return (Node(tree.label, left, right), max(left_height, right_height) + 1)

def balanced_tree(depth, label):
  if depth <= 0:
    return None
  else:
    return Node(label(),
                balanced_tree(depth - 1, label),
                balanced_tree(depth - 2, label))

根据要求：报告计数而不是创建树：

def balance(tree):
  if tree is None:
    return (0, 0)
  left, left_height = balance(tree.left_child)
  right, right_height = balance(tree.right_child)
  while left_height < right_height - 1:
    left += balanced_tree(left_height - 1) + 1
    left_height += 1
  while right_height < left_height - 1:
    right += balanced_tree(right_height - 1) + 1
    right_height += 1
  return (left + right, max(left_height, right_height) + 1)

def balanced_tree(depth):
  if depth <= 0:
    return 0
  else:
    return (1 + balanced_tree(depth - 1)
              + balanced_tree(depth - 2))

编辑：实际上，我认为除了更有效地计算深度为 n 的最小平衡树的大小（即记住它，或使用封闭形式：它只是fibonacci(n+1)-1 ）之外，这可能与你可以得到，因为你必须检查树中的每个节点以测试平衡条件，并且该算法精确地查看每个节点一次。

Answer 2

这会起作用吗？

从顶部递归。 如果节点 A 不平衡，则在短边添加一个节点 B，并在节点 B 上添加足够的左节点，直到节点 A 平衡。

（当然，计算添加的节点。）

Answer 3

首先让我们找出每个节点的左孩子和右孩子的高度。

现在考虑树的根，它的高度是

1+max(height(root.left) , height(root.right)) 。

让我们假设左边的高度为 n-1，那么右边的最小高度应该为 n-2。 让我们在这里定义另一个关系req[node] -> 使树平衡的每个节点所需的最小高度。

如果您观察到一个节点的高度为h ，则它的一个子节点至少应为 n-1，并且要使其平衡，其他子节点应至少为 n-2。

从根开始， req[root] = 根的高度

伪代码是：

    def chk_nodes(root, req):

      if(root == NULL):
        return minNodes(req)

      if(left[root] > right[root]):
       return chk_nodes(root.left  , req-1) + chk_nodes(root.right , req-2)

      else return chk_nodes(root.left , req-2) + chk_nodes(root.right , req-1)

现在什么是 minNodes(int req)？

这是一个函数，它返回“创建高度为 h 的平衡二叉树所需的最少节点数” 。 该功能非常直观且一目了然。

      def minNodes(int req) :
          if req < 0 : return 0
          return 1 + minNodes(req-1) + minNodes(req-2)

在 minNodes 函数中，可以使用查找表使其 O(1) 查找时间和 O(N) 构造。

当 chk_nodes 函数递归运行时，在叶节点处，我们将剩下左节点 req 。 如果 req > 0 那么应该有一个新的子树（平衡的），高度为 req。 因此，这个特定的叶节点需要 minNodes( req )。

只需 2 次遍历和O(N)时间， O(N)空间即可解决问题。