如果组的总和至少为K，则从数组中选择元素的方式的数量

Question

问题：如果我们给定整数N，K和大小为N的数组，使得1 <= N <= 36，并且数组中的每个整数都是<= 10 ^ 13。 现在，我们必须指望可以从数组中获取元素的方式有多少种，以使这些元素的总和至少为K

这是一个示例：N = 4，K = 6，array = {1,2,5,4}答案是9，因为我们可以通过9种不同的方式从数组中获取元素，并且它们的和至少为K，答案是要素（第一和第三）； （第二和第三）； （第一，第二和第三）； （第二和第四）； （第一，第二和第四）； （第一，第三和第四）； （第二，第三和第四）； （第一，第二，第三和第四）； （第三和第四）。

我的想法是使用位掩码，我们可以搜索所有组合并选择是否接受，但这复杂度为O（2 ^ N），在我们的情况下为N <= 36，这太慢了。

Answer 1

对于此问题，您可以使用类似于通常用于解决时间为O(N*2^(N/2))的子集和问题的“中间技巧”。复杂）。

首先，计算前N/2元素的2^N/2可能的和，并存储它们。 对最后N/2元素执行相同的操作。

现在按升序对两个集合进行排序。 对n元素进行排序需要时间O(n log n) ，因此这里的成本为O(N 2^(N/2)) 。 我们将这两个排序的集合称为F和L （分别用于First和Last）。

然后，执行以下操作：

设置res = 0

从0到2 ^（N / 2）-1 {

在{0，..，2 ^（N / 2）-1}中找到最小值j_i，使得F [i] + L [j_i]> = K（使用二分法搜索）

如果存在这样的j_i，则将res增加（2 ^（N / 2）-j_i）

}

返回资源

这个想法是，对于前N/2元素的每个子集，您查看有多少种方法可以选择后N/2元素的子集，以使总和大于K 为此，您只需要在最后一个元素的子集的总和中找到实现此目标的最小值，然后知道总和至少等于该值的子集就是与初始元素组合的子集。总和大于或等于K子集，对它们进行计数很容易，因为您对可能值的数组进行了排序。

PS：通过使用最小j_i的序列（使得F[i] + L[j_i] >= K是一个非递增序列的事实，可以进行边际优化。