了解Agda中的分配解决方案

Question

考虑以下提取的代码段，以证明Agda中变量的“打字唯一性”：

unicity : ∀ {Γ₁ Γ₂ e τ₁ τ₂} →  (Γ₁ ⊢ e ∷ τ₁) → (Γ₂ ⊢ e ∷ τ₂) → (Γ₁ ≈ Γ₂) → (τ₁ ∼ τ₂)
unicity   (VarT here) (VarT here) (_ , ( τ∼ , _ ))   = τ∼ 
unicity (VarT here) (VarT (ski`p {α = α} lk2)) (s≡s' , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness` s≡s'))
unicity (VarT (skip {α = α} lk1)) (VarT here) (s'≡s , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness s'≡s))
unicity (VarT (skip lk1)) (VarT (skip lk2)) (_ ,( _ , Γ≈ ))     = unicity (VarT lk1) (VarT lk2) Γ≈

我需要对⊥-elim toWitnessFalse ， toWitnessFalse和toWitness的工作进行解释。 此外，什么做的表达⊤和⊥平均值/代表什么？

Answer 1

⊥是空类型，因此（从总体上来说，一致的语言）您永远无法构造⊥类型的值。 但是，这也意味着您能想到的任何命题都来自⊥ 。 这是⊥-elim见证：

⊥-elim : ∀ {w} {Whatever : Set w} → ⊥ → Whatever

这在实践中非常有用，因为您可能在某些假设下编写证明，而其中一些假设可能是⊥ ，或者它们可能是负面陈述（对于某些A A → ⊥ ），并且您也可以证明A等。然后，您发现实际上不再需要关心那个特定的分支，因为这是不可能的。 但是，只是因为您不在乎，您仍然必须以某种方式正式满足结果类型。 这就是⊥-elim给您的。

toWitness的类型和相关定义如下：

T : Bool → Set
T true  = ⊤
T false = ⊥

⌊_⌋ : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Bool
⌊ yes _ ⌋ = true
⌊ no  _ ⌋ = false

True : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Set
True Q = T ⌊ Q ⌋

toWitness : ∀ {p} {P : Set p} {Q : Dec P} → True Q → P

给定一个Q : Dec P ，则True Q为⊤ （如果Q = yes _ ）或⊥ （如果Q = no _ ）。 那么，调用toWitness的唯一方法是让Q表示P为真，并传递琐碎的单元构造函数tt : ⊤ ; 唯一的可能是将有Q说， P是假的，并作为参数传递一个⊥ ，但正如我们看到的，这是不可能的。 总而言之， toWitness说，如果Q告诉我们P成立的决定，那么我们可以从Q获得P的证明。

toWitnessFalse是完全与角色相同的逆转：如果Q告诉我们，决定P不成立，那么我们可以得到证明¬ P从Q 。