计算 e^x 的最快方法？

Question

如果 x 可以是浮点值，计算 e^x 的最快方法是什么。

现在我已经使用 python 的数学库来计算这个，下面是完整的代码，其中result = -0.490631 + 0.774275 * math.exp(0.474907 * sum)是主要逻辑，rest 是问题要求的文件处理代码。

import math
import sys

def sum_digits(n):
   r = 0
   while n:
       r, n = r + n % 10, n // 10
   return r

def _print(string):
    fo = open("output.txt", "w+")
    fo.write(string)
    fo.close()

try:
    f = open('input.txt')
except IOError:
    _print("error")
    sys.exit()
data = f.read()
num = data.split('\n', 1)[0]
try:
   val = int(num)
except ValueError:
    _print("error")
    sys.exit()

sum = sum_digits(int(num))
f.close()

if (sum == 2):
    _print("1")
else:
    result = -0.490631 + 0.774275 * math.exp(0.474907 * sum)
    _print(str(math.ceil(result)))

result的右值是我使用自己的数据集从wolfarm-mathematica导出的曲线方程（这是编程问题的解决方案）。

但这似乎没有通过评估的标准！

我也尝试过 newton-raphson 方法，但较大 x 的收敛导致了问题，除此之外，计算自然对数ln(x)又是一个挑战！

我没有任何语言限制，所以任何解决方案都是可以接受的。 另外，如果 python 的数学库像某些评论所说的那样最快，那么任何人都可以深入了解该程序的时间复杂度和执行时间，简而言之就是程序的效率吗？

Answer 1

我不知道这段代码中的指数曲线数学是否正确，但这当然不是慢点。

首先，您在一个read调用中读取输入数据。 它必须被读取，但是会加载整个文件。 下一步仅采用第一行，因此使用readline似乎更合适。 该拆分本身为O（n），其中n至少是文件大小，它可能包含您忽略的数据，因为您只处理一行。

其次，将那条线转换为int 。 这可能需要Python的长整数支持，但是操作可以是O（n）或O（n ^ 2）。 单次通过算法会将每个数字的累加数字乘以10，每次分配一个或两个新的（较长）long。

第三， sum_digits将长整数再次分解为数字。 它使用昂贵的除法和两个操作来实现，而不是使用divmod 。 那是O（n ^ 2），因为每个除法必须处理每个数字的每个更高的数字。 只是因为您刚刚进行了转换，才需要它。

用类似sum(int(c) for c in l if c.isdigit())来对字符串中找到的数字求和可能更容易，其中l是输入行。 这不是特别快，因为数字转换会产生很多开销，并且总和可能会增加，但是它确实通过了一个相当紧密的循环就通过了； 根据数据的长度，它介于O（n）和O（n log n）之间，因为总和本身可能会变大。

至于未知的指数曲线，涉及到一个小数的例外情况的存在。 如果答案始终是整数，则可能还有其他一些选项会更快，更准确。

最后，您至少有四种不同的输出数据格式：error，2、3.0、3e + 20。 您知道这是预期的吗？ 也许您应该使用格式化输出而不是str来转换数字。

需要特别注意的是：如果数据确实很大，则分块处理肯定会加快处理速度（而不是耗尽内存，需要交换等）。 当您寻找数字总和时，您的大小复杂度可以从O（n）降低到O（log n）。

Answer 2

e ^ x可以写成1 + x / 1！ + x ^ 2/2！ + x ^ 3/3！ + ......（由Taylor的Expansion撰写），它收敛得非常快。 现在可以将其重写为e ^ x = 1 +（x / 1）（1 +（x / 2）（1 +（x / 3）（........）））来实现这个，我们可以用下面的代码（C代码）

float exp1(int n, float x)
 {   int i;
    float sum = 1.0f; 
     for (i = n - 1; i > 0; --i )
     {
      sum = 1 + x * sum / i;
     }
    return sum;
 }