对于复杂值矩阵，多个特征值/特征向量似乎是错误的？

Question

这可能确实很愚蠢，但是使用Numpy版本1.12.1时，我得到了一个相当奇怪的输出。 我正在尝试对一个随机对称矩阵进行对角化，然后通过将对角特征值矩阵变回来检查质量，但是对于复杂的值似乎失败了。 基本上：

A = np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all()

打印True而

A = np.random.random((3, 3))+1.0j*np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all()

打印False 。 我检查了值，这似乎不仅是一些数字上的不正确，而且似乎是完全错误的。 我是从根本上做错了吗？ 我知道当我使用np.linalg.eigh时，它适用于Hermitian矩阵，因为这是我经常使用的东西，但是为什么对角线的复杂值也不能使用eig进行eig ？

Answer 1

问题的答案是您没有正确进行对角化/矩阵重建。

A = np.random.random((3, 3))+1.0j*np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
from scipy.linalg import inv
print(np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), inv(evecs))), A).all())

会告诉您一个简洁的True ，因为它是正确的公式。

现在，如果您打电话

print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all() #False

是您乘以特征向量矩阵的转置，在实值归一化特征向量矩阵的情况下有效。 幸运的是，归一化的部分仍然是正确的，因此您需要做的只是模仿逆矩阵，就是采用矩阵的复共轭。

print(np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T.conj())), A).all()) #True