對於復雜值矩陣，多個特征值/特征向量似乎是錯誤的？

Question

這可能確實很愚蠢，但是使用Numpy版本1.12.1時，我得到了一個相當奇怪的輸出。 我正在嘗試對一個隨機對稱矩陣進行對角化，然后通過將對角特征值矩陣變回來檢查質量，但是對於復雜的值似乎失敗了。 基本上：

A = np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all()

打印True而

A = np.random.random((3, 3))+1.0j*np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all()

打印False 。 我檢查了值，這似乎不僅是一些數字上的不正確，而且似乎是完全錯誤的。 我是從根本上做錯了嗎？ 我知道當我使用np.linalg.eigh時，它適用於Hermitian矩陣，因為這是我經常使用的東西，但是為什么對角線的復雜值也不能使用eig進行eig ？

Answer 1

問題的答案是您沒有正確進行對角化/矩陣重建。

A = np.random.random((3, 3))+1.0j*np.random.random((3, 3))
A += A.T.conj()
evals, evecs = np.linalg.eig(A)
from scipy.linalg import inv
print(np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), inv(evecs))), A).all())

會告訴您一個簡潔的True ，因為它是正確的公式。

現在，如果您打電話

print np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T)), A).all() #False

是您乘以特征向量矩陣的轉置，在實值歸一化特征向量矩陣的情況下有效。 幸運的是，歸一化的部分仍然是正確的，因此您需要做的只是模仿逆矩陣，就是采用矩陣的復共軛。

print(np.isclose(np.dot(evecs, np.dot(np.diag(evals), evecs.T.conj())), A).all()) #True