关于插入排序时间的复杂度

Question

在我的教科书中，它说插入排序的时间复杂度为Θ（n ² ）。 我不明白，因为插入排序的最佳情况是O（n）。 我知道大theta上下限。 那么插入排序的时间复杂度是O（n ² ）而不是Θ（n ² ）是否正确？ 对不起，我英语不好。

Answer 1

O与Θ并非在所有情况下都是最坏情况。 这是<=和=之间的区别。

例如，算法Merge sort为O（n ^ 2），但不是Θ（n ^ 2），因为它比那快。

Answer 2

在谈论一段代码的“时间”复杂性时，您必须要小心，因为您不能指出一个单一的时间复杂性。 一段代码可以具有最佳情况下的时间复杂度， 最坏情况下的时间复杂度， 平均情况下的时间复杂度等，并且它们不必全部相同。

说“插入排序为Θ（n ² ）”有点草率，因为它不是Θ（n ² ） 本身的插入排序 ，而是最坏的运行时。 通常，如果您说一段代码是O（f（n）），则表示它的运行时是O（f（n）），这通常意味着您在谈论最坏情况的运行时。

的确，插入排序的最佳情况运行时是Θ（n），这在输入已被排序时发生。 最坏情况的运行时间是Θ（n ² ），它发生在反向排序的列表上。 假设输入是n个元素的随机排列，则平均情况下的运行时间也是Θ（n ² ）。 这些更精确的语句可能比“插入排序为O（n）”或“插入排序为Θ（n ² ）”更好，因为它们捕获了有关插入排序的运行时间的更多信息。

请注意，仅使用O，Θ或Ω并不会自动意味着您在谈论最佳/最差/平均情况下的复杂度。 例如，您可以使用Θ表示法来讨论最佳情况，最坏情况或平均情况。

Answer 3

一般而言，当谈到“ 算法的时间复杂性 ” 时，通常会提到所有类型的输入 ，而不仅限于例如最坏情况或最佳情况。

在这种一般情况下，对于所有类型的输入，一个情况（最坏的情况）就足以确定复杂性级别为最差的级别 。

因此，当我们谈到所有输入的时间复杂度时，最好的情况不会产生Θ(n) 。

但是，您也可以针对特定场景显式分析算法，例如仅针对最佳情况或最坏情况等等。 然后，您限制算法 ，仅允许此类输入。