關於插入排序時間的復雜度

Question

在我的教科書中，它說插入排序的時間復雜度為Θ（n ² ）。 我不明白，因為插入排序的最佳情況是O（n）。 我知道大theta上下限。 那么插入排序的時間復雜度是O（n ² ）而不是Θ（n ² ）是否正確？ 對不起，我英語不好。

Answer 1

O與Θ並非在所有情況下都是最壞情況。 這是<=和=之間的區別。

例如，算法Merge sort為O（n ^ 2），但不是Θ（n ^ 2），因為它比那快。

Answer 2

在談論一段代碼的“時間”復雜性時，您必須要小心，因為您不能指出一個單一的時間復雜性。 一段代碼可以具有最佳情況下的時間復雜度， 最壞情況下的時間復雜度， 平均情況下的時間復雜度等，並且它們不必全部相同。

說“插入排序為Θ（n ² ）”有點草率，因為它不是Θ（n ² ） 本身的插入排序 ，而是最壞的運行時。 通常，如果您說一段代碼是O（f（n）），則表示它的運行時是O（f（n）），這通常意味着您在談論最壞情況的運行時。

的確，插入排序的最佳情況運行時是Θ（n），這在輸入已被排序時發生。 最壞情況的運行時間是Θ（n ² ），它發生在反向排序的列表上。 假設輸入是n個元素的隨機排列，則平均情況下的運行時間也是Θ（n ² ）。 這些更精確的語句可能比“插入排序為O（n）”或“插入排序為Θ（n ² ）”更好，因為它們捕獲了有關插入排序的運行時間的更多信息。

請注意，僅使用O，Θ或Ω並不會自動意味着您在談論最佳/最差/平均情況下的復雜度。 例如，您可以使用Θ表示法來討論最佳情況，最壞情況或平均情況。

Answer 3

一般而言，當談到“ 算法的時間復雜性 ” 時，通常會提到所有類型的輸入 ，而不僅限於例如最壞情況或最佳情況。

在這種一般情況下，對於所有類型的輸入，一個情況（最壞的情況）就足以確定復雜性級別為最差的級別 。

因此，當我們談到所有輸入的時間復雜度時，最好的情況不會產生Θ(n) 。

但是，您也可以針對特定場景顯式分析算法，例如僅針對最佳情況或最壞情況等等。 然后，您限制算法 ，僅允許此類輸入。