Networkx：在二分图中查找仅由一组中的节点组成的所有最小切割

Question

在networkx python包中，有没有办法找到最小尺寸的所有节点剪切，只包含二分图中一组的节点？ 例如，如果二分图的两边是A和B，我怎样才能找到完全来自集合B的节点组成的所有最小节点切割？ 以下代码我的工作，但它非常慢：

def get_one_sided_cuts(G, A, B):
    #get all cuts that consist of nodes exclusively from B which disconnect
    #nodes from A
    one_sided_cuts = []
    seen = []

    l = list(combinations(A, 2))

    for x in l:
        s = x[0]
        t = x[1]

        cut = connectivity.minimum_st_node_cut(G, s, t)
        if set(cut).issubset(B) and (cut not in seen):
            one_sided_cuts.append(cut)
        seen.append(cut)

    #find minimum cut size
    cur_min = float("inf")
    for i in one_sided_cuts:
        if len(i) < cur_min:
            cur_min = len(i)

    one_sided_cuts = [x for x in one_sided_cuts if len(x) == cur_min]

    return one_sided_cuts

请注意，这实际上只检查是否存在最小切割，如果移除，将仅断开A中的两个节点。 如果您的解决方案执行此操作（而不是找到将任意两个节点分开的剪切），那也没关系。 关于如何更有效地做到这一点的任何想法？

Answer 1

正如评论中所述，对“最小尺寸的所有节点切割仅包含来自二部图中的一个集合的节点”有几种解释。 它或者意味着

1. 当将切割限制在一组二分图中时，所有节点最小尺寸切割，或
2. 所有节点都在不受约束的意义上（由A或B的节点组成）完全位于B中。

从您感兴趣的代码示例2.根据文档，有一种方法可以加快计算速度，并从配置文件结果中获得一些帮助。 每个图形都有辅助结构，用于确定最小节点切割。 根据http://www.cse.msu.edu/~cse835/Papers/Graph_connectivity_revised.pdf中的算法9，每个节点被2个节点替换，添加额外的有向边等。我们可以重用这些结构而不是重建他们在一个紧密的循环中：

案例2的改进：

from networkx.algorithms.connectivity import (
    build_auxiliary_node_connectivity)
from networkx.algorithms.flow import build_residual_network

from networkx.algorithms.flow import edmonds_karp

def getone_sided_cuts_Case2(G, A, B):
    # build auxiliary networks
    H = build_auxiliary_node_connectivity(G)
    R = build_residual_network(H, 'capacity')


    # get all cutes that consist of nodes exclusively from B which disconnet
    # nodes from A
    one_sided_cuts = []
    seen           = []

    l = list(combinations(A,2))

    for x in l:
        s = x[0]
        t = x[1]

    cut = minimum_st_node_cut(G, s, t, auxiliary=H, residual=R)
    if set(cut).issubset(B):
        if cut not in seen:
            one_sided_cuts.append(cut)
    seen.append(cut)

    # Find minimum cut size
    cur_min = float('inf')
    for i in one_sided_cuts:
        if len(i) < cur_min:
            curr_min = len(i)

    one_sided_cuts = [x for x in one_sided_cuts if len(x) == cur_min]

    return one_sided_cuts

对于分析目的，您可以使用以下或Networkx中的内置二分图生成器之一：

def create_bipartite_graph(size_m, size_n, num_edges):
    G = nx.Graph()

    edge_list_0 = list(range(size_m))
    edge_list_1 = list(range(size_m,size_m+size_n))
    all_edges = []

    G.add_nodes_from(edge_list_0, bipartite=0)
    G.add_nodes_from(edge_list_1, bipartite=1)

    all_edges = list(product(edge_list_0, edge_list_1))
    num_all_edges = len(all_edges)

    edges = [all_edges[i] for i in random.sample(range(num_all_edges), num_edges)]
    G.add_edges_from(edges)

    return G, edge_list_0, edge_list_1

使用%timeit ，第二个版本运行速度提高约5-10％。

对于案例1，逻辑更复杂一些。 我们需要考虑仅在B内部节点的最小切割。这需要以下列方式更改minimum_st_node_cut 。 然后在您的解决方案或上面给出的案例2解决方案rest_minimum_st_node_cut minimum_st_node_cut所有出现替换为rest_minimum_st_node_cut ，注意新函数还需要指定集合A ， B ，必要：

def rest_build_auxiliary_node_connectivity(G,A,B):
    directed = G.is_directed()

    H = nx.DiGraph()

    for node in A:
        H.add_node('%sA' % node, id=node)
        H.add_node('%sB' % node, id=node)
        H.add_edge('%sA' % node, '%sB' % node, capacity=1)

    for node in B:
        H.add_node('%sA' % node, id=node)
        H.add_node('%sB' % node, id=node)
        H.add_edge('%sA' % node, '%sB' % node, capacity=1)        

    edges = []
    for (source, target) in G.edges():
        edges.append(('%sB' % source, '%sA' % target))
        if not directed:
            edges.append(('%sB' % target, '%sA' % source))
    H.add_edges_from(edges, capacity=1)

    return H

def rest_minimum_st_node_cut(G, A, B, s, t, auxiliary=None, residual=None, flow_func=edmonds_karp):

    if auxiliary is None:
        H = rest_build_auxiliary_node_connectivity(G, A, B)
    else:
        H = auxiliary

    if G.has_edge(s,t) or G.has_edge(t,s):
        return []
    kwargs = dict(flow_func=flow_func, residual=residual, auxiliary=H)

    for node in [x for x in A if x not in [s,t]]:
        edge = ('%sA' % node, '%sB' % node)
        num_in_edges = len(H.in_edges(edge[0]))
        H[edge[0]][edge[1]]['capacity'] = num_in_edges

    edge_cut = minimum_st_edge_cut(H, '%sB' % s, '%sA' % t,**kwargs)

    node_cut = set([n for n in [H.nodes[node]['id'] for edge in edge_cut for node in edge] if n not in A])

    return node_cut - set([s,t])

然后我们有，例如：

In [1]: G = nx.Graph()
        # A = [0,1,2,3], B = [4,5,6,7]
In [2]: G.add_edges_from([(0,4),(0,5),(1,6),(1,7),(4,1),(5,1),(6,3),(7,3)])
In [3]: minimum_st_node_cut(G, 0, 3)
           {1}
In [4]: rest_minimum_st_node_cut(G,A,B,0,3)
           {6, 7}

最后请注意，如果两个节点相邻，则minimum_st_edge_cut()函数返回[] 。 有时，惯例是在这种情况下返回一组n-1节点，除源或接收器之外的所有节点。 无论如何，使用空列表约定，并且由于您对Case 2的原始解决方案在A节点对上循环，您可能会将[]作为大多数配置的返回值，除非A中的节点没有相邻，例如。

编辑

OP遇到了二分图的问题，其中集A，B包含整数和str类型的混合。 在我看来， build_auxiliary_node_connectivity将这些str节点转换为导致冲突的整数。 我重写了上面的内容，我认为这样可以解决它。 我没有在networkx文档中看到任何关于此的内容，因此要么使用所有整数节点，要么使用上面的rest_build_auxiliary_node_connectivity() 。