[英]Compute sparse transitive closure of scipy sparse matrix
我想在Python中计算稀疏矩阵的传递闭包 。 目前我正在使用scipy稀疏矩阵。
矩阵功率(在我的情况下为**12
)在非常稀疏的矩阵上运行良好,无论它们有多大,但对于定向不那么稀疏的情况,我想使用更智能的算法。
我在scipy.sparse.csgraph
找到了Floyd-Warshall算法 (德语页面有更好的伪代码),它比它应该做的更多:只有Warshall的算法没有函数 - 这是一回事。
主要的问题是我可以将稀疏矩阵传递给函数,但这完全没有意义,因为函数总是会返回一个密集矩阵,因为传递闭包中应该为0的是现在的inf
长度路径,有人觉得这个需要明确存储。
所以我的问题是: 是否有任何python模块允许计算稀疏矩阵的传递闭包并保持稀疏 ?
我并不是100%确定他使用相同的矩阵,但Gerald Penn在他的比较文件中显示了令人印象深刻的加速,这表明有可能解决问题。
编辑: 由于存在许多混淆,我将指出理论背景:
我正在寻找传递闭包 (不反身或对称)。
我将确保在布尔矩阵中编码的关系具有所需的属性,即对称性或反身性 。
我有两种关系 :
我想对这两种关系应用传递闭包。 这与矩阵功率完美匹配(仅在某些情况下它太昂贵):
>>> reflexive
matrix([[ True, True, False, True],
[False, True, True, False],
[False, False, True, False],
[False, False, False, True]])
>>> reflexive**4
matrix([[ True, True, True, True],
[False, True, True, False],
[False, False, True, False],
[False, False, False, True]])
>>> reflexive_symmetric
matrix([[ True, True, False, True],
[ True, True, True, False],
[False, True, True, False],
[ True, False, False, True]])
>>> reflexive_symmetric**4
matrix([[ True, True, True, True],
[ True, True, True, True],
[ True, True, True, True],
[ True, True, True, True]])
所以在第一种情况下,我们得到一个节点的所有后代(包括它自己),在第二种情况下,我们获得所有组件,即同一组件中的所有节点。
这是在SciPy问题跟踪器上提出的 。 问题不在于输出格式; Floyd-Warshall的实现是从充满无穷大的矩阵开始,然后在找到路径时插入有限值。 稀疏性立即丢失。
该networkx库提供与它的替代all_pairs_shortest_path_length 。 它的输出是一个迭代器,它返回表单的元组
(source, dictionary of reachable targets)
这需要一些工作来转换为SciPy稀疏矩阵(csr格式在这里很自然)。 一个完整的例子:
import numpy as np
import networkx as nx
import scipy.stats as stats
import scipy.sparse as sparse
A = sparse.random(6, 6, density=0.2, format='csr', data_rvs=stats.randint(1, 2).rvs).astype(np.uint8)
G = nx.DiGraph(A) # directed because A need not be symmetric
paths = nx.all_pairs_shortest_path_length(G)
indices = []
indptr = [0]
for row in paths:
reachable = [v for v in row[1] if row[1][v] > 0]
indices.extend(reachable)
indptr.append(len(indices))
data = np.ones((len(indices),), dtype=np.uint8)
A_trans = A + sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=A.shape)
print(A, "\n\n", A_trans)
添加A的原因如下。 Networkx输出包括长度为0的路径,它将立即填充对角线。 我们不希望这种情况发生(你想要传递闭包,而不是反身和传递闭包)。 因此, reachable = [v for v in row[1] if row[1][v] > 0]
则行reachable = [v for v in row[1] if row[1][v] > 0]
。 但是我们根本没有得到任何对角线条目,即使A有它们(0长空路径击败由自循环形成的1长度路径)。 所以我将A添加回结果。 它现在有条目1或2,但只有它们非零的事实才有意义。
运行上述示例(我选择6乘6尺寸以便输出的可读性)。 原始矩阵:
(0, 3) 1
(3, 2) 1
(4, 3) 1
(5, 1) 1
(5, 3) 1
(5, 4) 1
(5, 5) 1
传递闭包:
(0, 2) 1
(0, 3) 2
(3, 2) 2
(4, 2) 1
(4, 3) 2
(5, 1) 2
(5, 2) 1
(5, 3) 2
(5, 4) 2
(5, 5) 1
你可以看到这个工作正常:添加的条目是(0,2),(4,2)和(5,2),都是通过路径(3,2)获得的。
顺便说一句,networkx也有floyd_warshall方法,但它的文档说
该算法最适合于密集图。 运行时间为O(n ^ 3),运行空间为O(n ^ 2),其中n为G中的节点数。
输出再次密集。 我得到的印象是这个算法本质上被认为是密集的。 似乎all_pairs_shortest_path_length是一种Dijkstra的算法 。
如果不是传递闭包 (它是包含给定闭包的最小传递关系),而是希望传递和自反闭包(包含给定的最小传递和自反关系),代码会简化,因为我们不再担心0长度路径。
for row in paths:
indices.extend(row[1])
indptr.append(len(indices))
data = np.ones((len(indices),), dtype=np.uint8)
A_trans = sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=A.shape)
这意味着找到包含给定关系的最小等价关系。 等效地,将顶点划分为连接的组件。 为此你不需要去networkx,有sciPy的connected_components
方法。 在那里设置directed=False
。 例:
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import scipy.sparse as sparse
import itertools
A = sparse.random(20, 20, density=0.02, format='csr', data_rvs=stats.randint(1, 2).rvs).astype(np.uint8)
components = sparse.csgraph.connected_components(A, directed=False)
nonzeros = []
for k in range(components[0]):
idx = np.where(components[1] == k)[0]
nonzeros.extend(itertools.product(idx, idx))
row = tuple(r for r, c in nonzeros)
col = tuple(c for r, c in nonzeros)
data = np.ones_like(row)
B = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=A.shape)
这是输出print(B.toarray())
的随机示例,20乘20:
[[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0]
[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]]
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