如何将矢量化函数应用于 numpy 数组的前一个元素？

Question

我想应用这样的函数：

s[i] = a*x[i] + (1 - a)*s[i-1]

其中s和x都是相同长度的数组。

我不想使用 for 循环，因为这些数组非常大（> 50 百万）。 我试过做这样的事情

def f(a,x):
    s = [0]*len(x)
    s[i] = a*x[i] + (1 - a)*s[i-1]
    return s

但当然i没有定义所以这不起作用。

有没有办法使用map或numpy.apply_along_axis或其他一些矢量化方法来做到这一点？

我还没有遇到过将函数应用于数组的当前和先前元素而不使用 for 循环的方法，而这正是我想在这里了解如何做的。

编辑

明确地说，这里是 for 循环实现，它有效但我想避免

s = [0]*len(x)
a=0.45
for i in range(len(x)):
    s[i] = a*x[i] + (1-a)*s[i-1]

s[0] = x[0] # reset value of s[0]

Answer 1

正如我在对基本相同问题的回答中所写，您不能：

除了显式的for循环之外，没有其他方法（通常）。 这是因为无法跨行并行化此任务（因为每一行都依赖于其他行）。

让这更难的是你可以很容易地产生混乱的行为，例如看似无辜的逻辑图： x_{n+1} = r * x_n * (1 - x_{n-1}) 。

如果你设法找到一个封闭的形式，你只能找到解决这个问题的方法，基本上消除了递归关系。 但这必须为每个递归关系完成，我很确定你甚至不能保证封闭形式存在......

Answer 2

您可以避免循环，尽管矢量化更像是“计算每个值的所有内容”。

import numpy as np

# Loop
def fun(x, a):
    s = [0] * len(x)
    for i in range(len(x)):
        s[i] = a * x[i] + (1 - a) * s[i - 1]
    s[0] = x[0]
    return s

# Vectorized
def fun_vec(x, a):
    x = np.asarray(x, dtype=np.float32)
    n = np.arange(len(x))
    p = a * (1 - a) ** n
    # Trick from here: https://stackoverflow.com/q/49532575/1782792
    pz = np.concatenate((np.zeros(len(p) - 1, dtype=p.dtype), p))
    pp = np.lib.stride_tricks.as_strided(
        pz[len(p) - 1:], (len(p), len(p)),
        (p.strides[0], -p.strides[0]), writeable=False)
    t = x[np.newaxis] * pp
    s = np.sum(t, axis=1)
    s[0] = x[0]
    return s


x = list(range(1, 11))
a = 0.45
print(np.allclose(fun(x, a), fun_vec(x, a)))
# True

这种策略虽然需要 O(n ² ) 内存，但计算量更大。 根据情况，由于并行性，它可以更快（我做了类似的事情来消除 TensorFlow 中的tf.while_loop以取得巨大成功），但在这种情况下，它实际上更慢：

x = list(range(1, 101))
a = 0.45
%timeit fun(x, a)
# 31 µs ± 85.2 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
%timeit fun_vec(x, a)
# 147 µs ± 2.42 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

所以，可以有一个非循环版本，但它比其他任何东西都更令人好奇。