如何在r中生成概率密度函数和期望值？

Question

任务：

Eric the fly有一个朋友，Ernie。 假设两只苍蝇坐在独立的位置，均匀分布在地球表面。 设D表示Eric和Ernie之间的欧几里德距离（即，穿过地球内部的直线）。

对D的概率密度函数进行猜想，并给出其期望值E（D）的估计。

到目前为止，我已经完成了在地球表面生成两个点的功能，但我不确定下一步该做什么：

sample3d <- function(2)
  {
  df <- data.frame()
  while(n > 0){
    x <- runif(1,-1,1)
    y <- runif(1,-1,1)
    z <- runif(1,-1,1)
    r <- x^2 + y^2 + z^2
    if (r < 1){
      u <- sqrt(x^2+y^2+z^2)
      vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u)
      df <- rbind(vector,df)
      n = n- 1
    }
  }
  df
}
E <- sample3d(2)

Answer 1

这是一个有趣的问题。 我将概述一种计算方法; 我会把数学留给你。

1. 首先，我们修复随机种子以获得可重复性。

    set.seed(2018); 

2. 我们从单位球面采样10^4个点。

    sample3d <- function(n = 100) { df <- data.frame(); while(n > 0) { x <- runif(1,-1,1) y <- runif(1,-1,1) z <- runif(1,-1,1) r <- x^2 + y^2 + z^2 if (r < 1) { u <- sqrt(x^2 + y^2 + z^2) vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u) df <- rbind(vector,df) n = n- 1 } } df } df <- sample3d(10^4); 

   请注意， sample3d效率不高，但这是一个不同的问题。

3. 我们现在从df随机抽取2个点，计算这两个点之间的欧几里德距离（使用dist ），并重复此过程N = 10^4次。

    # Sample 2 points randomly from df, repeat N times N <- 10^4; dist <- replicate(N, dist(df[sample(1:nrow(df), 2), ])); 

   正如@JosephWood指出的那样， N = 10^4的数字有些随意。 我们使用bootstrap来推导经验分布。 对于N -> infinity可以证明经验自助分布与（未知）种群分布（Bootstrap定理）相同。 经验和人口分布之间的误差项为1/sqrt(N) ，因此N = 10^4应导致1％左右的误差。

4. 我们可以将得到的概率分布绘制为直方图：

    # Let's plot the distribution ggplot(data.frame(x = dist), aes(x)) + geom_histogram(bins = 50); 

4. 最后，我们可以得到平均值和中位数的经验估计值。

    # Mean mean(dist); #[1] 1.333021 # Median median(dist); #[1] 1.41602 

   这些值接近理论值：

    mean.th = 4/3 median.th = sqrt(2)