如何在r中生成概率密度函數和期望值？

Question

任務：

Eric the fly有一個朋友，Ernie。 假設兩只蒼蠅坐在獨立的位置，均勻分布在地球表面。 設D表示Eric和Ernie之間的歐幾里德距離（即，穿過地球內部的直線）。

對D的概率密度函數進行猜想，並給出其期望值E（D）的估計。

到目前為止，我已經完成了在地球表面生成兩個點的功能，但我不確定下一步該做什么：

sample3d <- function(2)
  {
  df <- data.frame()
  while(n > 0){
    x <- runif(1,-1,1)
    y <- runif(1,-1,1)
    z <- runif(1,-1,1)
    r <- x^2 + y^2 + z^2
    if (r < 1){
      u <- sqrt(x^2+y^2+z^2)
      vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u)
      df <- rbind(vector,df)
      n = n- 1
    }
  }
  df
}
E <- sample3d(2)

Answer 1

這是一個有趣的問題。 我將概述一種計算方法; 我會把數學留給你。

1. 首先，我們修復隨機種子以獲得可重復性。

    set.seed(2018); 

2. 我們從單位球面采樣10^4個點。

    sample3d <- function(n = 100) { df <- data.frame(); while(n > 0) { x <- runif(1,-1,1) y <- runif(1,-1,1) z <- runif(1,-1,1) r <- x^2 + y^2 + z^2 if (r < 1) { u <- sqrt(x^2 + y^2 + z^2) vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u) df <- rbind(vector,df) n = n- 1 } } df } df <- sample3d(10^4); 

   請注意， sample3d效率不高，但這是一個不同的問題。

3. 我們現在從df隨機抽取2個點，計算這兩個點之間的歐幾里德距離（使用dist ），並重復此過程N = 10^4次。

    # Sample 2 points randomly from df, repeat N times N <- 10^4; dist <- replicate(N, dist(df[sample(1:nrow(df), 2), ])); 

   正如@JosephWood指出的那樣， N = 10^4的數字有些隨意。 我們使用bootstrap來推導經驗分布。 對於N -> infinity可以證明經驗自助分布與（未知）種群分布（Bootstrap定理）相同。 經驗和人口分布之間的誤差項為1/sqrt(N) ，因此N = 10^4應導致1％左右的誤差。

4. 我們可以將得到的概率分布繪制為直方圖：

    # Let's plot the distribution ggplot(data.frame(x = dist), aes(x)) + geom_histogram(bins = 50); 

4. 最后，我們可以得到平均值和中位數的經驗估計值。

    # Mean mean(dist); #[1] 1.333021 # Median median(dist); #[1] 1.41602 

   這些值接近理論值：

    mean.th = 4/3 median.th = sqrt(2)