Python`exm`是一个`（N，M，M）矩阵

Question

设A是(N,M,M)矩阵（ N非常大），我想为n in range(N)每个n in range(N)计算scipy.linalg.expm(A[n,:,:]) 。 我当然可以使用for循环，但我想知道是否有一些技巧以更好的方式执行此操作（类似于np.einsum ）。

我对其他操作有相同的问题，例如反转矩阵（反馈在注释中解决）。

Answer 1

根据矩阵的大小和结构，您可以做得比循环更好。

假设您的矩阵可以对角化为A = VDV^(-1) （其中D在其对角线上具有特征值， V包含相应的特征向量作为列），您可以将矩阵指数计算为

exp(A) = V exp(D) V^(-1)

其中exp(D)只包含对角线中每个特征值lambda exp(lambda) 。 如果我们使用指数函数的幂级数定义，这很容易证明。 如果矩阵A是正常的，则矩阵V是单一的，因此可以通过简单地取其伴随来计算其逆。

好消息是numpy.linalg.eig和numpy.linalg.inv都可以正常使用堆叠矩阵：

import numpy as np
import scipy.linalg

A = np.random.rand(1000,10,10)

def loopy_expm(A):
    expmA = np.zeros_like(A)
    for n in range(A.shape[0]):
        expmA[n,...] = scipy.linalg.expm(A[n,...])
    return expmA

def eigy_expm(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...kj -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),np.linalg.inv(vects))

请注意，在指定einsum调用中的操作顺序时，可能还有一些优化einsum ，但我没有对此进行调查。

测试上面的随机数组：

In [59]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm(A))
Out[59]: True

In [60]: %timeit loopy_expm(A)
824 ms ± 55.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [61]: %timeit eigy_expm(A)
138 ms ± 992 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

那已经很好了。 如果你足够幸运，你的矩阵都是正常的（例如，因为它们是真正对称的）：

A = np.random.rand(1000,10,10)
A = (A + A.transpose(0,2,1))/2

def eigy_expm_normal(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...jk -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),vects.conj())

注意输入矩阵的对称定义和einsum模式内的转置。 结果：

In [80]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm_normal(A))
Out[80]: True

In [79]: %timeit loopy_expm(A)
878 ms ± 89.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [80]: %timeit eigy_expm_normal(A)
55.8 ms ± 868 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

对于上面的示例形状，这是15倍的加速。

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应该注意的是， scipy.linalg.eigm根据文档使用Padé近似。 这可能意味着如果你的矩阵是病态的，那么特征值分解可能会产生与scipy.linalg.eigm不同的结果。 我不熟悉这个功能如何工作，但我希望它对病理输入更安全。