Python`exm`是一個`（N，M，M）矩陣

Question

設A是(N,M,M)矩陣（ N非常大），我想為n in range(N)每個n in range(N)計算scipy.linalg.expm(A[n,:,:]) 。 我當然可以使用for循環，但我想知道是否有一些技巧以更好的方式執行此操作（類似於np.einsum ）。

我對其他操作有相同的問題，例如反轉矩陣（反饋在注釋中解決）。

Answer 1

根據矩陣的大小和結構，您可以做得比循環更好。

假設您的矩陣可以對角化為A = VDV^(-1) （其中D在其對角線上具有特征值， V包含相應的特征向量作為列），您可以將矩陣指數計算為

exp(A) = V exp(D) V^(-1)

其中exp(D)只包含對角線中每個特征值lambda exp(lambda) 。 如果我們使用指數函數的冪級數定義，這很容易證明。 如果矩陣A是正常的，則矩陣V是單一的，因此可以通過簡單地取其伴隨來計算其逆。

好消息是numpy.linalg.eig和numpy.linalg.inv都可以正常使用堆疊矩陣：

import numpy as np
import scipy.linalg

A = np.random.rand(1000,10,10)

def loopy_expm(A):
    expmA = np.zeros_like(A)
    for n in range(A.shape[0]):
        expmA[n,...] = scipy.linalg.expm(A[n,...])
    return expmA

def eigy_expm(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...kj -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),np.linalg.inv(vects))

請注意，在指定einsum調用中的操作順序時，可能還有一些優化einsum ，但我沒有對此進行調查。

測試上面的隨機數組：

In [59]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm(A))
Out[59]: True

In [60]: %timeit loopy_expm(A)
824 ms ± 55.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [61]: %timeit eigy_expm(A)
138 ms ± 992 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

那已經很好了。 如果你足夠幸運，你的矩陣都是正常的（例如，因為它們是真正對稱的）：

A = np.random.rand(1000,10,10)
A = (A + A.transpose(0,2,1))/2

def eigy_expm_normal(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...jk -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),vects.conj())

注意輸入矩陣的對稱定義和einsum模式內的轉置。 結果：

In [80]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm_normal(A))
Out[80]: True

In [79]: %timeit loopy_expm(A)
878 ms ± 89.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [80]: %timeit eigy_expm_normal(A)
55.8 ms ± 868 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

對於上面的示例形狀，這是15倍的加速。

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應該注意的是， scipy.linalg.eigm根據文檔使用Padé近似。 這可能意味着如果你的矩陣是病態的，那么特征值分解可能會產生與scipy.linalg.eigm不同的結果。 我不熟悉這個功能如何工作，但我希望它對病理輸入更安全。