具有给定特征值和特征向量的随机正半定矩阵

Question

有没有一种方法可以在Python中生成具有给定特征值和特征向量的随机正半定矩阵？

我看着这个 ，但他们不允许指定矩阵特征值建设。

上下文：我想生成具有受控椭圆度的随机多元高斯，并且由于分布的长/短轴的长度与特征值成比例，因此我希望我的协方差矩阵具有它们。 可以在此处找到Definiton（第81页） 。

Answer 1

当您没有特征向量而只需要一些特征值时，您可以列出所需的特征值并使用正交矩阵将它们弄乱。 由于同余变换不会改变矩阵的惯性（达到数值精度），因此可以使用随机矩阵QR分解的Q矩阵（或其他任何生成正交矩阵的方式）。

import numpy as np
import scipy.linalg as la
des = [1, 0, 3, 4, -2, 0, 0]
n = len(des)
s = np.diag(des)
q, _ = la.qr(np.random.rand(n, n))
semidef = q.T @ s @ q
np.linalg.eigvalsh(semidef)

给

array([-2.00000000e+00, -2.99629568e-16, -5.50063275e-18,  2.16993906e-16,
        1.00000000e+00,  3.00000000e+00,  4.00000000e+00])

当实际上还拥有特征向量时，无论如何，您都可以简单地构造原始矩阵，这就是特征值分解的定义。