Matlab与Real的符号集成给出了一个复杂的答案

Question

我希望对Matlab中的以下积分获得解析（封闭形式）解决方案。 但是，Matlab给我有关实部和虚部的答案。 如何获得仅包含“真实”部分的答案。 这是完整的代码。

close all;
clear all;
clc;

syms t real;
syms thetak real;
syms sik real;
syms tbar real;
syms sjk real;

expr = exp(-thetak*((t-sik)^2 + (t-sjk)^2));
Bijk_raw = int(expr,t,0,1);
Bijk = simplify(collect(expand(Bijk_raw)));
fprintf('Bijk is as follows...\n');
pretty(Bijk);

Answer 1

您得到的（具有某些恒定因素）的形式

 1i * (c * erf(1i * a) - erf(c * 1i * (a - 2)))

这由形式的两个术语组成

- 1i * erf(1i * x)

也称为虚数误差函数 erfi() 。 原来是

erfi(x) = - 1i * erf(1i * x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(t.^2),0,x)

因此，对于x的实际值，您的表达式实际上是真实的，如果thetak >= 0且sik和sjk是实数，就是这种情况。

您开始使用的积分可以简化为exp(-t^2)的积分（使用某种仿射变换），该积分通常没有“封闭形式”，但通常写为

erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(-t.^2),0,x)

我强烈建议阅读有关错误函数的Wikipedia文章。

此外，我建议使用比MATLAB符号工具箱更适合初学者的CAS 。 我要推荐的一个免费的开源CAS是Maxima 。

（由于SO上缺少LaTeX，因此全部以MATLAB表示法编写。）

Answer 2

您获得的答案（如果您有与我的Matlab版本相似的答案），我在这里复制了该答案：

  /               /                     2 \ 
  |  1/2   1/2    |   thetak (sik - sjk)  | 
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2          1/2                 \ 
 |    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i) | 
 | erf| --------------------------------- | i - 
 \    \                 2                 / 

    /  1/2          1/2                       \   \ \ 
    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i - 2 i) |   | | 
 erf| --------------------------------------- | i | | / 
    \                    2                    /   / / 
             1/2 
 (4 (-thetak)   )

给人的印象是，我到处都有复数。

但是实际上，由于（-thetak）^（1/2），这是一个错误的印象。

实际上，取负数的平方根将生成一个“ i”，这反过来将“杀死”与其“接触”的其他“ i”。 由于可以找到（-thetak）^（1/2）的事实，所以这种取消将在不同的位置发生：

1）在erf表达式中

2）作为公分母（最后一行）。

验证规则i ^ 2 = -1适用于所有地方，不留任何生存“ i”的机会...

最终给出（我已将thetak = s ^ 2设置为s> 0）：

  /               /                      \ 
  |  1/2   1/2    |   s^2 (sik - sjk)^2   |   
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2                   \ 
 |    | 2    s    (sik  + sjk ) | 
 | erf| ----------------------- |  - 
 \    \           2            / 

    /  1/2                          \   \ \ 
    | 2    s   (sik  + sjk  - 2 )   |   | | 
 erf| ----------------------------- |   | |   /   (4 s)
    \             2                 /   / / 

编辑：您可能已经摆脱了整合。 这个想法是将$ exp（-thetak *（（t-sik）^ 2 +（t-sjk）^ 2））$中的平方转换为所谓的“规范形式”，在您的情况下为：$ exp （-thetak *（（（tA）^ 2 + B））/ C）; $其中$ A，B，C $可以表示为sik和sjk的函数（例如$ A =（sik + sjk）/ 2 $）; 这样，设置$ T = tA $，您将返回到具有公式的经典高斯积分：

$$ \\ frac {2} / {\\ sqrt {\\ pi}} \\ int_a ^ b exp（-t ^ 2} dt）（erf（b）-erf（a））$$