找到Haskell函数f，g使得fg = f。 G

Question

在学习Haskell时，我遇到了一个挑战，找到两个函数f和g ，比如fg和f . g f . g是等价的（总和，所以f = undefined或f = (.) f不算数）。 给定的解决方案是f和g都等于\\x -> x . x \\x -> x . x （或join (.) ）。

（我注意到这不是Haskell特有的;它可以用纯组合逻辑表示为“找到f和g使得fg = B fg ”，然后给定的解将转换为f = g = WB 。）

我明白为什么给定的解决方案在扩展时会起作用，但我不明白你如何找到它，如果你还不知道的话。 这是我能走多远：

• fg = f . g fg = f . g （给定）
• fgz = (f . g) z （双方的fgz = (f . g) z扩张）
• fgz = f (gz) （简化RHS）

而且我不知道如何从那里开始。 在尝试寻找解决方案时，我会做什么？

Answer 1

我发现通过考虑教会数字计算可以找到一系列解决方案。 在教会编码中，通过组合教会数字来执行乘法，并且通过将基数应用于指数来执行取幂。 因此，如果f是某个数字x的Church编码，并且g是某个数字y的Church编码，则fg = f . g fg = f . g表示y^x = x*y 。 该等式的任何非负整数解都转化为原始问题的解。 例子：

• x=1, y=0, f=id, g=const id
• x=1, y=1, f=id, g=id
• x=1, y=2, f=id, g=join (.)
• 由于对于所有y ， y^1 = y = 1*y ，因此f=id适用于所有教会数字g是有意义的。 这的确是这样的，而事实上，正如雷恩Henrichs指出，这是适用于所有g ，而这是通过检查容易证实。
• x=2, y=0, f=join (.), g=const id
• x=2, y=2, f=join (.), g=join (.)
• x=3, y=0, f=(.) <*> join (.), g=const id
• 由于对于所有正x ， 0^x = 0 = x*0 ，因此g=const id适用于所有正数教会数字f 。 （它不适用于f=const id ，教会数字0，这是有道理的，因为0^0是一个不确定的形式。）