无向图中的最大循环数

Question

因此，我们给出了具有n个顶点的无向图G =（V，E）。

（| V | = n）

如何在指定的图形G中找到简单循环的最大数量？

如果有人可以通过解释帮助我，我将非常高兴。

Answer 1

因此，我们想在图中找到所有可能的周期。 假设每个顶点都已连接，因为这将生成所有可能的边。 现在让我们从简单的案例开始，然后逐步进行。

让我们从一个长度为3的循环开始。这是我们在图形中可以拥有的最小的简单循环。 图中的任何三个顶点都可以构成这样一个循环。 在这种情况下顺序无关紧要，因为我们三个一组中的每个顶点都将连接到其他两个。 因此，长度为3的简单循环数将成为我们从一组V个顶点中选择三个顶点而忽略顺序的方式的数量。 这是“ n nck(3, V) k”或nck(3, V) ，其中nck是：

function nck(k, n):
    return factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k))

这为我们解决了长度为3的循环数。 我们可以对长度4重复类似的逻辑，但是出现了一个新问题。 对于一组四个顶点a, b, c, d ，有一个以上的循环连接方式。 我们可以将b连接到a和d ， a和c或c和d 。 简而言之，我们需要找到这些顶点的排列数目k! ，然后进行两次更正。 首先，我们将除以二以说明“翻转”另一个排列顺序的排列（仍将连接相同的相邻顶点）。 其次，我们将除以k来说明仅旋转另一个置换的置换（同样，该置换不会更改彼此相邻的顶点）。 因此，一个k顶点周期的不同有序数为：

function orderings(k):
    return factorial(k - 1) / 2

现在我们可以通过nck(4, V) * orderings(4)计算长度为4的循环数。 现在可以将此过程推广到所有长度循环，直至V并包括V

要获得周期总数，我们需要将所有长度为[3, V]含）的周期总数相加。 请注意，我们可以通过取消两个函数中的项来进行一些简化。 如果我们将factorial(k - 1)写为factorial(k) / k并内联这两个函数， factorial(k)将取消。 然后，我们只需要除以2 * k * factorial(n - k) 。 您还可以将factorial(n) / factorial(n - k)简化为[k + 1, n]含factorial(n) / factorial(n - k)以下的所有整数的乘积，以避免被大阶乘除。

总体而言，这应该不会太昂贵。 通过按升序计算factorial(n) / factorial(n - k) ，我们甚至可以避免重新计算部分乘积或任何阶乘。 这意味着我们可以计算线性时间的总循环数。 在python中：

def cycles(v):
    count = 0
    product = v * (v - 1) * (v - 2) // 2
    for k in range(3, v + 1):
            count += product // k
            product *= (v - k)
    return count

请注意，我确实试图找到一种没有任何运气的封闭式解决方案。 如果我们不必乘以每个循环的顺序，则可以计算这些顶点的幂集的基数（减去大小为0..2的子集的数量）。 我还试图查看[wolfram alpha]（ https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+k%3D3+to+v+of+ ( v% 5E2+%2F+2)+% 2F +（（（vk）％5E2 + * + k）可以简化它，但它给我带来了更复杂的东西。