[英]Generate sequence of numbers whose k-th digit from the left and from the right sums to 10 for all k
Python编码练习要求使函数f使得f(k)是第k个数字,以使所有k的左起和右起的第k个数字求和。 例如5, 19, 28, 37
是序列中的前几个数字。
我使用此函数来显式检查数字“ n”是否满足该属性:
def check(n):
#even digit length
if len(str(n)) % 2 == 0:
#looping over positions and checking if sum is 10
for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):
if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:
return False
#odd digit length
else:
#checking middle digit first
if int(str(n)[int(len(str(n))/2)])*2 != 10:
return False
else:
#looping over posotions and checking if sum is 10
for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):
if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:
return False
return True
然后遍历所有数字以生成序列:
for i in range(1, 10**9):
if check(i):
print(i)
但是,练习需要一个函数f(i)在不到10秒的时间内返回第i个此类数字。 显然,我的时间要长得多,因为它会在数字“ i”之前生成整个序列以进行计算。 是否可以使一个函数不必计算所有先前的数字?
测试每个自然数是一个不好的方法。 只有一小部分自然数具有此属性,并且随着我们进入更大的数,分数会迅速下降。 在我的机器上,下面的简单Python程序花了3秒多的时间来找到第1000个数字(2,195,198),并花费了26秒的时间来找到了第2000个数字(15,519,559)。
# Slow algorithm, only shown for illustration purposes
# '1': '9', '2': '8', etc.
compl = {str(i): str(10-i) for i in range(1, 10)}
def is_good(n):
# Does n have the property
s = str(n)
for i in range((len(s)+1)//2):
if s[i] != compl.get(s[-i-1]):
return False
return True
# How many numbers to find before stopping
ct = 2 * 10**3
n = 5
while True:
if is_good(n):
ct -= 1
if not ct:
print(n)
break
n += 1
显然,需要一种更有效的算法。
我们可以遍历数字字符串的长度,并在其中生成带有数字顺序的属性的数字。 伪代码算法示意图:
for length in [1 to open-ended]:
if length is even, middle is '', else '5'
half-len = floor(length / 2)
for left in (all 1) to (all 9), half-len, without any 0 digits:
right = 10's complement of left, reversed
whole-number = left + middle + right
现在,请注意,可以很容易地计算出每个长度的数字计数:
Length First Last Count
1 5 5 1
2 19 91 9
3 159 951 9
4 1199 9911 81
5 11599 99511 81
通常,如果左半部分有n
位数字,则计数为9**n
。
因此,我们可以简单地遍历数字计数,对存在的解决方案进行计数而不必计算它们,直到我们找到包含所需答案的同类为止。 然后,再次计算所需的数字应该相对简单,而不必遍历所有可能性。
上面的草图应该产生一些想法。 我写完之后要遵循的代码。
码:
def find_nth_number(n):
# First, skip cohorts until we reach the one with the answer
digits = 1
while True:
half_len = digits // 2
cohort_size = 9 ** half_len
if cohort_size >= n:
break
n -= cohort_size
digits += 1
# Next, find correct number within cohort
# Convert n to base 9, reversed
base9 = []
# Adjust n so first number is zero
n -= 1
while n:
n, r = divmod(n, 9)
base9.append(r)
# Add zeros to get correct length
base9.extend([0] * (half_len - len(base9)))
# Construct number
left = [i+1 for i in base9[::-1]]
mid = [5] * (digits % 2)
right = [9-i for i in base9]
return ''.join(str(n) for n in left + mid + right)
n = 2 * 10**3
print(find_nth_number(n))
这是一个利用以下模式的函数:相邻幂10之间的“有效”数字数量为9的幂。这使我们可以跳过很多数字。
def get_starting_point(k):
i = 0
while True:
power = (i + 1) // 2
start = 10 ** i
subtract = 9 ** power
if k >= subtract:
k -= subtract
else:
break
i += 1
return k, start
我将其与您定义的方法结合在一起。 假设我们对第45个数字感兴趣,这说明搜索从1000开始,我们只需要找到在1000之后出现的第26个“有效”数字。保证小于10000。当然,此界限会变得更糟,并且在规模上更差,您可能想使用本文中其他社区成员建议的技术。
k = 45
new_k, start = get_starting_point(k)
print('new_k: {}'.format(new_k))
print('start at: {}'.format(start))
ctr = 0
for i in range(start, 10**9):
if check(i):
ctr += 1
if ctr == new_k:
break
print(i)
输出:
new_k: 26
start at: 1000
3827
看来第45个数字是3827。
声明:本站的技术帖子网页,遵循CC BY-SA 4.0协议,如果您需要转载,请注明本站网址或者原文地址。任何问题请咨询:yoyou2525@163.com.