误解小细节w /嵌套for循环时间复杂度分析...如何分辨O（n）和O（n²）分开

Question

对于以下算法：

 int x = 0;
 for (int i = 0; i < n; i++)
     for (j = 0; j < n; j++) {
         if (j < i) j = j + n;
         else x = x + 1;
      }

所以对于这个算法，我的思维过程是这样的：

当i=0时，内循环对j执行n次迭代。 但是，对于i=0,1..n-1每个值， j将只执行一次迭代，因为if语句将计算为true并结束内部循环。

这是我的困惑之源：

由于外循环将执行n次迭代，无论如何，并且由于内部循环在i=0 （非常第一次迭代）时执行n次迭代，为什么大时间复杂度不是O（n²）而是， O（n）如果循环嵌套并且在第一次迭代中都执行n次迭代？

Answer 1

你有一条线说if (j < i) j = j + n; 它基本上脱离了循环（当j < i ），并且由于内循环从0开始，这将在每次第一次迭代时触发（第一次除外），使其在恒定时间内运行。

你基本上只有一个循环。 代码可以重写为

int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    x = x + 1;
}

这清楚地说明了为什么它是O（n）。

Answer 2

你可以从内循环打印i和j的值：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.print(i + "" + j + " ");
        if (j < i) j = j + n;
        else x = x + 1;
    }
    System.out.println();
}

输出：

00 01 02 03 04 ..
10
20
30
40
..

它仅代表矩阵的第一行和第一列，因此复杂性为：

O(2n) => O(n).

Answer 3

你正确地注意到只有i=0内循环才会迭代n次。 对于i>0内部循环仅运行一次。 我们可以求和所有这些迭代：i ₀ + i ₁ + ... + _n-1 ，其中i ₀ =n ，对于其他索引i _x =1 。 因此，内部迭代的总和将是n + n - 1 => 2n - 1 。 这给出了我们： O(2n - 1) => O(2n) - O(1) => 2*O(n) - O(1) => O(n) 。

Answer 4

对于每n次外迭代，都有n次内迭代。 因此，您将进行n * n = n ^ 2次计算，因此复杂度为O（n ^ 2）。 这有意义还是更令人困惑？