誤解小細節w /嵌套for循環時間復雜度分析...如何分辨O（n）和O（n²）分開

Question

對於以下算法：

 int x = 0;
 for (int i = 0; i < n; i++)
     for (j = 0; j < n; j++) {
         if (j < i) j = j + n;
         else x = x + 1;
      }

所以對於這個算法，我的思維過程是這樣的：

當i=0時，內循環對j執行n次迭代。 但是，對於i=0,1..n-1每個值， j將只執行一次迭代，因為if語句將計算為true並結束內部循環。

這是我的困惑之源：

由於外循環將執行n次迭代，無論如何，並且由於內部循環在i=0 （非常第一次迭代）時執行n次迭代，為什么大時間復雜度不是O（n²）而是， O（n）如果循環嵌套並且在第一次迭代中都執行n次迭代？

Answer 1

你有一條線說if (j < i) j = j + n; 它基本上脫離了循環（當j < i ），並且由於內循環從0開始，這將在每次第一次迭代時觸發（第一次除外），使其在恆定時間內運行。

你基本上只有一個循環。 代碼可以重寫為

int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    x = x + 1;
}

這清楚地說明了為什么它是O（n）。

Answer 2

你可以從內循環打印i和j的值：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.print(i + "" + j + " ");
        if (j < i) j = j + n;
        else x = x + 1;
    }
    System.out.println();
}

輸出：

00 01 02 03 04 ..
10
20
30
40
..

它僅代表矩陣的第一行和第一列，因此復雜性為：

O(2n) => O(n).

Answer 3

你正確地注意到只有i=0內循環才會迭代n次。 對於i>0內部循環僅運行一次。 我們可以求和所有這些迭代：i ₀ + i ₁ + ... + _n-1 ，其中i ₀ =n ，對於其他索引i _x =1 。 因此，內部迭代的總和將是n + n - 1 => 2n - 1 。 這給出了我們： O(2n - 1) => O(2n) - O(1) => 2*O(n) - O(1) => O(n) 。

Answer 4

對於每n次外迭代，都有n次內迭代。 因此，您將進行n * n = n ^ 2次計算，因此復雜度為O（n ^ 2）。 這有意義還是更令人困惑？