如何通过scipy.optimize.fsolve避免运行时错误

Question

题

我正在尝试使用scipy.optimize.fsolve数值求解非线性的代数方程组。

我为系统求解了几个不同的参数值（以下为k1, k2, k3 ）。 对于某些参数值， fsolve找到正确的解决方案，而对于其他一些参数，则发生以下警告

RuntimeWarning: The iteration is not making good progress, as measured by the 
  improvement from the last five Jacobian evaluations.
  warnings.warn(msg, RuntimeWarning)

从这些情况下的结果可以明显看出，由于h(result)不是零向量， h(result)出现了问题。 毫无疑问，该解决方案确实存在，并且与找到正确解决方案的情况在质上没有什么不同。

在这些情况下通常建议什么？ 这是初始条件的问题吗？

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例子

在下文中，我将展示如何求解方程组的想法：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

# Parameters for the system of equations
k1, k2, k3 = 2., 4.5, 0.1

# Function for evaluating the residual of the system
def h(x):
    x1, x2, x3=x
    eqn1 = k1*x1 + k2*x2**2 - x3
    eqn2 = x1 - 2.*x2 + k3*x3 
    eqn3 = x1 + x2 + x3 - 1.
    return eqn1, eqn2, eqn3

# An initial guess
x0 = np.array([1., 0.5, 1.])

# Get the solution of the system of equations
result = fsolve(h, x0=x0, xtol=1e-5)

# Now, verify that the solution is correct
print(h(result)) # Should be near (0,0,0)

有时候这很有效，但是对于k1, k2, k3某些值k1, k2, k3它将引发RuntimeWarning讨论的RuntimeWarning并返回错误的结果

# Bad parameters
k1, k2, k3 = 2., 4.5, -1.

# Bad result
result = fsolve(h, x0=x0, xtol=1e-5)

# Verification shows the residual is not near (0,0,0)
print(h(result))

Answer 1

我不知道如何使用fsolve摆脱RuntimeWarning 。 如果您不介意使用某些代数来求解方程组，则可以按照以下方法进行。

从原始的方程组开始

def h(x):
    x1, x2, x3=x
    eqn1 = k1*x1 + k2*x2**2 - x3
    eqn2 = x1 - 2.*x2 + k3*x3 
    eqn3 = x1 + x2 + x3 - 1.
    return eqn1, eqn2, eqn3

矩阵化

mat = np.array([
    [ k1, 0, k2, -1  ],
    [ 1, -2, 0,   k3 ],
    [ 1,  1, 0,   1  ]
], dtype=float)

vec = np.array([0, 0, 1], dtype=float)

def h(x):
    x1, x2, x3=x
    return mat @ (x1, x2, x2**2, x3) - vec

在mat的空空间中找到一个4d向量y求解mat @ y = vec以及向量ns

y = np.linalg.lstsq(mat, vec, rcond=None)[0]

from scipy.linalg import null_space
ns = null_space(mat).flatten()

现在使用z = y + a * ns的事实也可以解决任何标量a mat @ z = vec 。 这使我们能够找到一些z满足z[1]**2 = z[2] 对于这样的z ，我们有x = z[[0,1,3]]作为原始方程组的解决方案。

将z = y + a * ns插入约束z[1]**2 = z[2] ，我们需要(y[1] + a * ns[1])**2 = y[2] + a * ns[2] 。 解这个二次方程的a收益率

a = np.roots([ns[1]**2, 2 * y[1] * ns[1] - ns[2], y[1]**2 - y[2]])

由于您声称原始方程组具有解，因此a应该包含实数值。

# This assertion will fail if (and only if) the original system has no solutions.
assert np.isreal(a).all()

最后，我们可以得到原始方程组的两个解

soln1 = (y + a[0] * ns)[[0,1,3]]
soln2 = (y + a[1] * ns)[[0,1,3]]