带有 if 语句的嵌套 for 循环的时间复杂度

Question

此代码的 if 语句如何影响此代码的时间复杂度？

基于这个问题：运行时分析，if 语句中的 for 循环将运行 n*n 次。 但是在这段代码中， j超过了i ，因此一旦运行第二个循环j = i^2 。 那么这使第三个 for 循环的时间复杂度如何呢？ 我知道第一个 for 循环运行 n 次，第二个运行n^2次，第三个在触发时运行n^2次。 因此，复杂性将由n*n^2(xn^2)给出，其中n是 if 语句为真的次数。 复杂性不仅仅是O(n^6) ，因为 if 语句不是真的 n 次，对吧？

int n;
int sum;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
  for (int j = 0; j < i*i; j++)
    {
      if (j % i == 0)
        {
          for (int k = 0; k < j; k++)
            {
              sum++;
            }           
        }       
    }   
}

Answer 1

当j是i的倍数时， if条件为真； 当j从 0 变为i * i时，这会发生i次，因此第三个for循环仅运行i次。 总体复杂度为 O(n^4)。

for (int i = 1; i < n; i++)
{
  for (int j = 0; j < i*i; j++)       // Runs O(n) times
    {
      if (j % i == 0)                 // Runs O(n) × O(n^2) = O(n^3) times
        {
          for (int k = 0; k < j; k++) // Runs O(n) × O(n) = O(n^2) times
            {
              sum++;                  // Runs O(n^2) × O(n^2) = O(n^4) times
            }
        }
    }
}

Answer 2

复杂性不仅仅是 O(n^6)，因为 if 语句不是真的 n 次，对吧？

不它不是。

在最坏的情况下，它将是O(n^5) 。 它小于这个值，因为j % i仅i次等于0 。

第一个循环运行n次。
第二个循环运行O(n^2)次。
第三个循环最多运行O(n)次。

循环的最差组合复杂度将是O(n) x O(n^2) x O(n) ，即O(n^4) 。