帶有 if 語句的嵌套 for 循環的時間復雜度

Question

此代碼的 if 語句如何影響此代碼的時間復雜度？

基於這個問題：運行時分析，if 語句中的 for 循環將運行 n*n 次。 但是在這段代碼中， j超過了i ，因此一旦運行第二個循環j = i^2 。 那么這使第三個 for 循環的時間復雜度如何呢？ 我知道第一個 for 循環運行 n 次，第二個運行n^2次，第三個在觸發時運行n^2次。 因此，復雜性將由n*n^2(xn^2)給出，其中n是 if 語句為真的次數。 復雜性不僅僅是O(n^6) ，因為 if 語句不是真的 n 次，對吧？

int n;
int sum;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
  for (int j = 0; j < i*i; j++)
    {
      if (j % i == 0)
        {
          for (int k = 0; k < j; k++)
            {
              sum++;
            }           
        }       
    }   
}

Answer 1

當j是i的倍數時， if條件為真； 當j從 0 變為i * i時，這會發生i次，因此第三個for循環僅運行i次。 總體復雜度為 O(n^4)。

for (int i = 1; i < n; i++)
{
  for (int j = 0; j < i*i; j++)       // Runs O(n) times
    {
      if (j % i == 0)                 // Runs O(n) × O(n^2) = O(n^3) times
        {
          for (int k = 0; k < j; k++) // Runs O(n) × O(n) = O(n^2) times
            {
              sum++;                  // Runs O(n^2) × O(n^2) = O(n^4) times
            }
        }
    }
}

Answer 2

復雜性不僅僅是 O(n^6)，因為 if 語句不是真的 n 次，對吧？

不它不是。

在最壞的情況下，它將是O(n^5) 。 它小於這個值，因為j % i僅i次等於0 。

第一個循環運行n次。
第二個循環運行O(n^2)次。
第三個循環最多運行O(n)次。

循環的最差組合復雜度將是O(n) x O(n^2) x O(n) ，即O(n^4) 。