DFA 中的最小状态数

Question

DFA 中接受字符串（基数为 3，即三元形式）中与 5 模 6 一致的最小数状态？

我试过了，但做不到。

Answer 1

乍一看，它似乎有 6 个状态，但可以进一步最小化。
我们先来看看状态转移表：

这里，状态 q ₀ , q ₁ , q ₂ ,...., q _{5 分别}对应于模 0,1,2,..., 5 除以 6 时的状态。 q ₀是我们的初始状态，由于我们需要模 5，因此我们的最终状态将是 q ₅

从上面的状态转换表中得出的一些观察结果：

• 状态 q ₀ , q ₂和 q ₄完全相同
• 状态 q ₁ , q ₃和 q ₅完全相同

在相同输入上转换到相同状态的状态可以合并为单个状态。

注意：最终状态和非最终状态永远不能合并。

因此，我们可以将 q ₀ , q ₂ , q ₄合并在一起，将 q ₁ , q ₃合并在一起，使状态 q ₅远离整理。
最终的最小 DFA 有 3 个状态，如下所示：

Answer 2

让我们看一下语言中的几个字符串：

 12 =              1*3 + 2 =  5 ~ 5 (mod 6)
102 =        1*9 + 0*3 + 2 = 11 ~ 5 (mod 6)
122 =        1*9 + 2*3 + 2 = 17 ~ 5 (mod 6)
212 =        2*9 + 1*3 + 2 = 23 ~ 5 (mod 6)

1002 = 1*18 + 0*9 + 0*9 + 2 = 29 ~ 5 (mod 6)

我们注意到所有的字符串都以 2 结尾。这是有道理的，因为 6 是 3 的倍数，从 3 的倍数得到 5 的唯一方法是加上 2。基于此，我们可以尝试解决字符串的问题与 3 模 6 一致：

  10 =  3
 100 =  9
 120 = 15
 210 = 21
1000 = 27

没有出现真正的模式，但请考虑一下：每个以 0 结尾的基数为 3 的数字肯定可以被 3 整除。偶数也可以被 6 整除； 所以基数 3 表示以 0 结尾的奇数必须与 3 mod 6 一致。因为 3 的所有幂都是奇数，我们知道如果字符串中 1 的个数是奇数，我们就有一个奇数。

所以，我们的条件是：

1. 字符串以 1 开头；
2. 字符串有奇数个 1；
3. 字符串以 2 结尾；
4. 字符串可以包含任意数量的 2 和 0。

要获得此类 DFA 中的最小状态数，我们可以使用以空字符串开头的 Myhill-Nerode 定理：

1. 空字符串后面可以跟该语言中的任何字符串。 称其等价类 [e]
2. 字符串 0 后面不能跟任何东西，因为有效的 base-3 表示没有前导 0。 称其为等价类 [0]。
3. 字符串 1 后面必须跟有以 2 结尾的偶数个 1 的内容。调用它的等价类 [1]。
4. 字符串 2 后面可以跟该语言中的任何内容。 实际上，您可以验证将 2 放在该语言中任何字符串的前面会给出该语言中的另一个字符串。 但是，它也可以跟以 0 开头的字符串。因此，它的类是新的：[2]。
5. 字符串 00 后面不能跟任何修复它的东西； 它的类与其前缀 0 [0] 相同。 字符串 01 相同。
6. 字符串 10 后面可以跟任何以 2 结尾的偶数个 1 的字符串； 因此它等价于类 [1]。
7. 字符串 11 后面可以跟任何语言中的任何字符串； 实际上，您可以验证在该语言中的任何字符串前添加 11 会提供另一种解决方案。 但是，它也可以后跟以0开头的字符串。因此，它的类与[2]相同。
8. 12 后面可以跟一个以 2 结尾的偶数个 1 的字符串，以及空字符串（因为 12 实际上在语言中）。 这是一个新类，[12]。
9. 21 等于 1； 类 [1]
10. 22 等于 2； 类 [2]
11. 20 相当于 2； 类 [2]
12. 120 与 1 没有区别； 它的类是[1]。
13. 121 与 [2] 没有区别。
14. 122 与 [12] 没有区别。

我们在长度为 3 的新字符串上没有看到新的等价类； 所以，我们知道我们已经看到了所有的等价类。 它们如下：

• [e]: 语言中的任何字符串都可以跟在这个后面
• [0]：没有字符串可以跟在这个后面
• [1]：以2结尾的偶数个1的字符串可以跟在这个后面
• [2]：与 [e] 相同，但也是以 0 开头的字符串
• [12]: 同 [1] 但也是空字符串

这意味着我们语言的最小 DFA 有五个状态。 这是 DFA：

      [0]
       ^
       |
       0
       |
----->[e]--2-->[2]<-\
       |        ^   |
       |        |   |
       1   __1__/   /
       |  /        /
       | |         1
       V V         |
       [1]--2-->[12]
         ^       |
         |       |
         \___0___/

（未图示的转换是各自状态的自循环）。

注意：我希望这个 DFA 有 6 个状态，正如 Welbog 在另一个答案中指出的那样，所以我可能错过了一个等价类。 然而，在检查了几个例子并思考它在做什么之后，DFA 似乎是正确的：你只能通过将 2 作为最后一个符号（绝对必要）来接受状态 [12]，并且你只能进入状态 [12]从状态 [1] 开始，您必须看到奇数个 1 才能到达 [1] ...

Answer 3

几乎所有模数问题的最小状态数是模数的基础。 一般策略是每个模数都有一个状态，因为模数之间的转换与之前的数字无关。 例如，如果您处于状态r4 （代表x = 4 (mod 6) ），并且您遇到1作为下一个输入，则您的新模数为4x6+1 = 25 = 1 (mod 6) ，因此转换从输入1上的r4到r1 。 你会发现 start state 和r0可以合并，总共有 6 个 state。