为定义在 Σ = {0, 1} 上的以下语言构建 NFA。 D = {0^n 10^m10^q |n, m, q ∈ N, q ≡ nm (mod 5)}

Question

需要帮助解决以下问题：

为定义在 Σ = {0, 1} 上的以下语言构建 NFA。

D = {0^n 10^m10^q |n, m, q ∈ N, q ≡ nm (mod 5)}

我对如何在语言的 q 部分创建 NFA 分解感到困惑。

Answer 1

我们可以使用五种状态来记住 n mod 5 的值：

        _______________0______________
       /                              \
       |                              |
       V                              |
----->q0--0-->q1--0-->q2--0-->q3--0-->q4

现在我们需要阅读1：

        _______________0______________
       /                              \
       |                              |
       V                              |
----->q0--0-->q1--0-->q2--0-->q3--0-->q4
       |       |       |       |       |
       1       1       1       1       1
       |       |       |       |       |
       V       V       V       V       V
      q0'     q1'     q2'     q3'     q4'

现在我们可以单独查看每个案例。 对于 q0'，我们知道我们在第一部分看到了许多与 0 mod 5 一致的 0。因此，nm = 0 (mod 5) 是已知的。 我们可以接受任意数量的 0，然后是 1，如果我们没有进一步的输入，则接受：我们可以让 q0' 这样做：

     _0_
    /   \
    |   |
    \   /
----->q0'--1-->qA

对于 q1'，我们将有 q = nm (mod 5) = m (mod 5)，因为在这种情况下 n = 1 (mod 5)。 我们可以通过记住 m (mod 5) 到目前为止的当前值然后在 q 中查找那么多 0 来实现这一点。 也就是说，q1' 可以替换为：

        _______________0________________________
       /                                        \
       |                                        |
       V                                        |
----->q1'--0-->q1''--0-->q1'''--0-->q1''''--0-->q1'''''
       |        |        |          |           |
       1        1        1          1           1
       |        |        |          |           |
       V        V        V          V           V
       qA<--0--qA'<--0--qA''<--0--qA'''<--0--qA''''

qA 与我们之前介绍的接受状态相同。 对于 q2'，我们可以跟踪 nm (mod 5) 的当前值，即 2m (mod 5)：

        _______________0________________________
       /                                        \
       |                                        |
       V                                        |
----->q2'--0-->q2''--0-->q2'''--0-->q2''''--0-->q2'''''
       |        |        |          |           |
       1        1        1          1           1
       |        |        |          |           |
       V        V        V          V           V
       qA      qA''     qA''''     qA'         qA'''

状态 qA'、qA''、qA''' 和 qA'''' 与之前介绍的相同，但请注意现在的顺序不同：这反映了 2 x 0 = 0（如前）、2 的事实x 1 = 2（不是 1）、2 x 2 = 4（不是 2）等。

我们可以对 q3' 和 q4' 做同样的事情：

        _______________0________________________
       /                                        \
       |                                        |
       V                                        |
----->q3'--0-->q3''--0-->q3'''--0-->q3''''--0-->q3'''''
       |        |        |          |           |
       1        1        1          1           1
       |        |        |          |           |
       V        V        V          V           V
       qA      qA'''    qA'        qA''''      qA''


        _______________0________________________
       /                                        \
       |                                        |
       V                                        |
----->q4'--0-->q4''--0-->q4'''--0-->q4''''--0-->q4'''''
       |        |        |          |           |
       1        1        1          1           1
       |        |        |          |           |
       V        V        V          V           V
       qA      qA''''   qA'''      qA''        qA'

将所有这些不同的 DFA 放在一个巨大的 DFA 中，可以保证为您提供一个有效的 DFA。 是否存在实质上相似的NFA，我不能肯定。 该 DFA 声明：

1. q0, q0': 2 个状态
2. q1, q1', ...., q1''''': 6 个状态
3. q2, q2', ...., q2''''': 6 个状态
4. q3, q3', ...., q3''''': 6 个状态
5. q4, q4', ...., q4''''': 6 个状态
6. qA, qA', ...., qA'''': 5 个状态

这总共是32个州。 如果您想尝试最小化，您可能可以取消其中的一些。