Python乘法失去浮点精度

Question

我最近在处理浮点数，我意识到浮点数出乎我的意料。 这是一个例子

a = 0.1
print(f"{a:0.20f}")
#'0.10000000000000000555'
b = a * 10
print(f"{b:0.20f}")
#'1.00000000000000000000'

我希望最后一次打印输出1.00000000000000005551 （即 1 后跟数字 1 到 21 of 0.1 ）。

我很好奇的是为什么当乘以 10 时浮点误差会消失。算术的正常规则表明浮点误差会被传播，但这实际上并没有发生。 为什么会发生这种情况？ 有没有办法避免它？

Answer 1

的10和0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625确切实数算术乘积，0.1 IEEE 754的64位二进制表示，是1.000000000000000055511151231257827021181583404541015625。

它不能完全代表。 它由 1.0 和 1.00000000000000022204460492503130808472633336181640625 括起来

它更接近 1.0，因此这是乘法的舍入到最接近的结果。

我使用一个简短的 Java 程序计算了这些数字：

import java.math.BigDecimal;

public strictfp class Test {
    public static void main(String[] args) {
        BigDecimal rawTenth = new BigDecimal(0.1);
        BigDecimal realProduct = rawTenth.multiply(BigDecimal.TEN);
        System.out.println(realProduct);
        System.out.println(new BigDecimal(Math.nextUp(1.0)));
    }
}

输出：

1.0000000000000000555111512312578270211815834045410156250
1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625

Answer 2

这个答案显示了如何确定将 1/10 转换为浮点数并乘以 10 只需使用一点算术即可得出正好为 1； 无需计算大量或精确的数字。

您的 Python 实现使用常见的 IEEE-754 binary64 格式。 （Python 对应该使用哪种浮点格式的实现并不严格。）在这种格式中，数字实际上表示为应用于某个 53 位整数乘以某个 2 的幂的符号（+ 或 -）。 因为 2 ^-4 ≤ 1/10 < 2 ^-3 ，最接近 1/10 的可表示数是某个整数 M 乘以 2 ^-3-53 。 （-53 将 53 位整数缩放到 ½ 和 1 之间，而 -3 将其缩放到 2 ^-4和 2 ^{-3 之间}。）让我们称其为可表示数 x。

然后我们有 x = M•2 ⁻⁵⁶ = 1/10 + e，其中 e 是当我们将 1/10 舍入到最接近的可表示值时发生的一些舍入误差。 由于我们四舍五入到最接近的可表示值，|e| ≤ ½•2 ⁻⁵⁶ = 2 ⁻⁵⁷ 。

要准确找出 e 是什么，请将 1/10 乘以 2 ⁵⁶ 。 WolframAlpha告诉我们它是 7205759403792793+3/5。 为了获得最接近的可表示值，我们应该向上取整，因此 M = 7205759403792794 和 e = 2/5 • 2 ⁻⁵⁶ 。 虽然我用 WolframAlpha 来说明这一点，但我们不需要 M，我们可以通过观察两个模 10 的幂的模式找到 e：2 ¹ →2, 2 ² →4, 2 ³ →8, 2 ⁴ →6， 2 ⁵ →2, 2 ⁶ →4，所以模式以4为循环重复，56模4为0，所以2 ⁵⁶模10与2 ⁴ , 6有相同的余数，所以分数是6/10 = 3/5。 我们知道应该四舍五入到最接近的整数 1，所以 e = 2/5 • 2 ⁻⁵⁶ 。

所以 x = M•2 ⁻⁵⁶ = 1/10 + 2/5•2 ⁻⁵⁶ 。

现在我们可以计算出用浮点算法计算 10•x 的结果。 结果就像我们首先用实数算术计算 10•x 然后四舍五入到最接近的可表示值。 在实数算术中，10•x = 10•(1/10 + 2/5•2 ⁻⁵⁶ ) = 1 + 10•2/5•2 ⁻⁵⁶ = 1 + 4•2 ⁻⁵⁶ = 1 + 2 ^{− 54} . 两个相邻的可表示值是 1 和 1 + 2 ^-52 ，并且 1 + 2 ^-54比 1 + 2 ^-52更接近于 1。 所以结果是1。