数独谜题与包含平方数的盒子

Question

两天前，我收到了一个我试图用 Python 3 解决的数独问题。我被告知确实存在一个解决方案，但我不确定是否存在多个解决方案。

问题如下： 一个 9x9 的数独网格是完全空的。 然而，它确实包含彩色框，并且在这些框内，数字的总和必须是平方数。 除此之外，正常的数独规则适用。

这里的问题不是解决数独谜题，而是生成一个满足彩色框规则的可行谜题。

我的策略

使用 numpy 数组，我将网格划分为 81 个索引，这些索引可以重新排列为 9x9 网格。

import numpy as np
print(np.array([i for i in range(81)]).reshape((9, 9)))

->
[[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12 13 14 15 16 17]
 [18 19 20 21 22 23 24 25 26]
 [27 28 29 30 31 32 33 34 35]
 [36 37 38 39 40 41 42 43 44]
 [45 46 47 48 49 50 51 52 53]
 [54 55 56 57 58 59 60 61 62]
 [63 64 65 66 67 68 69 70 71]
 [72 73 74 75 76 77 78 79 80]]

这是一个包含所有索引块的列表。

boxes = [[44, 43, 42, 53],[46, 47, 38],[61, 60],[69, 70],[71, 62],
         [0, 9, 18],[1, 10, 11, 20],[2, 3, 12],[4, 13, 14],[5, 6],
         [7, 8],[17, 26, 35],[21, 22, 23],[15, 16, 24, 25, 34],
         [27, 36, 37],[19, 28, 29],[45, 54],[55, 56],[63, 64, 65],
         [72, 73, 74],[57, 66, 75 ],[58, 59, 67, 68],[76, 77],[78, 79, 80]]

正如您从图片或上面的数组中看到的，这些盒子被排列成 2、3、4 或 5 个块（8 个二、12 个三、3 个四、1 个五）。 我还注意到一个盒子可以包含多个数字而不会违反任何数独规则，但一个数字中只能有 2 个。 鉴于这些信息，最大可能的平方将是 36，因为 9+9+8+7+6 = 39，因此一个块的总和永远不会达到 49。 找出列表的总和是否包含一个平方数，我做了以下功能：

def isSquare(array):
    if np.sum(array) in [i**2 for i in range(1,7)]:
        return True
    else:
        return False

为了找出列表是否包含正确数量的重复项，即只有一个数字的多个重复项，我做了以下功能：

def twice(array):
    counter = [0]*9
    for i in range(len(array)):
        counter[array[i]-1]+=1
        if 3 in counter:
            return False
    if counter.count(2)>1:
        return False
    return True

现在，给定数字 1-9，如果列表必须求和成一个平方数，那么列表的解决方法是有限的。 使用itertools ，我可以找到解决方案，将它们分成一个数组，其中索引 0 包含两个块，索引 1 包含三个块，依此类推。

from itertools combinations_with_replacement
solutions = []
for k in range(2, 6):
    solutions.append([list(i) for i in combinations_with_replacement(np.arange(1, 10), k) if 
    isSquare(i) and twice(i)])

然而，这些列表的任何排列都是“平方问题”的可行解决方案。 再次使用itertools ，可能的盒子总数（没有数独规则）总和为 8782。

from itertools import permutations

def find_squares():
    solutions = []
    for k in range(2, 6):
        solutions.append([list(i) for i in combinations_with_replacement(np.arange(1, 10), k) if 
            isSquare(i) and twice(i)])
    s = []
    for item in solutions:
        d=[]
        for arr in item:
            for k in permutations(arr):
                d.append(list(k))
        s.append(d)
    return s # 4-dimensional array, max 2 of each

solutions = find_squares()

total = sum([len(i) for i in solutions])
print(total)
-> 8782

这应该足以实现决定棋盘是否合法的功能，即行、列和框仅包含 1-9 位数字中的每一个。 我的实现：

def legal_row(arr):
    for k in range(len(arr)):
        values = []
        for i in range(len(arr[k])):
            if (arr[k][i] != 0):
                if (arr[k][i] in values):
                    return False
                else:
                    values.append(arr[k][i])
    return True

def legal_column(arr):
    return legal_row(np.array(arr, dtype=int).T)


def legal_box(arr):
    return legal_row(arr.reshape(3,3,3,3).swapaxes(1,2).reshape(9,9))


def legal(arr):
    return (legal_row(arr) and legal_column(arr) and legal_box(arr))

运行时的困难

一种直接的方法是检查每个块的每个组合。 我已经这样做了，并产生了几个可行的问题，但是我的算法的复杂性使得这需要很长时间。

相反，我试图随机化一些属性：块的顺序和解决方案的顺序。 使用这个，我限制了尝试的次数，并检查了一个解决方案是否可行：

attempts = 1000
correct = 0
possibleBoards = []
for i in range(1, attempts+1):
    board = np.zeros((9, 9), dtype=int)
    score = 0
    shapes = boxes
    np.random.shuffle(shapes)
    for block in shapes:
        new_board = board
        new_1d = board.reshape(81)
        all_sols = solutions[len(block)-2]
        np.random.shuffle(all_sols)
        for sols in all_sols:
            #print(len(sols))
            new_1d[block] = sols
            new_board = new_1d.reshape((9, 9))
            if legal(new_board):
                board = new_board
                score+=1
                break
    confirm = board.reshape(81)
    #solve(board) # Using my solve function, not important here
    # Note that without it, correct would always be 0 as the middle of the puzzle has no boxes
    confirm = board.reshape(81)
    if (i%1000==0 or i==1):
        print("Attempt",i)
    if 0 not in confirm:
        correct+=1
        print(correct)
        possibleBoards.append(board)

在上面的代码中，变量 score 是指算法在尝试期间可以找到多少块。 变量正确是指可以完成多少生成的数独板。 如果您对它在 700 次尝试中的表现感兴趣，这里有一些统计数据（这是一个直方图，x 轴代表分数，y 轴代表在这 700 次尝试中每个分数出现的数量）。

我需要什么帮助

我正在努力寻找一种可行的方法来解决这个问题，它实际上可以在有限的时间内运行。 我将不胜感激有关使我的某些代码更快或更好的任何提示，对问题的不同方法的任何想法，问题的任何解决方案，或有关与此问题相关的 Python/Numpy 的一些有用提示。

Answer 1

这是我将使用 SMT 求解器的地方。 他们比人们认为的要强大得多。 如果您能想到的最佳算法本质上是蛮力，请尝试使用求解器。 只需列出您的约束并运行它，几秒钟内就会给出您独特的答案：

278195436
695743128
134628975
549812763
386457291
721369854
913286547
862574319
457931682

使用的代码（和坐标参考图像）：

import z3

letters = "ABCDEFGHI"
numbers = "123456789"
boxes = """
A1 A2 A3
B1 B2 C2 C3
C1 D1 D2
E1 E2 F2
F1 G1
H1 I1
G2 H2 G3 H3 H4
I2 I3 I4
B3 B4 C4
D3 E3 F3
A4 A5 B5
C5 B6 C6
G5 H5 I5 I6
A6 A7
B7 C7
D7 D8 D9
E7 E8 F7 F8
G7 H7
I7 I8
A8 B8 C8
G8 H8
A9 B9 C9
E9 F9
G9 H9 I9
"""
positions = [letter + number
             for letter in letters
             for number in numbers]
S = {pos: z3.Int(pos) for pos in positions}

solver = z3.Solver()

# Every symbol must be a number from 1-9.
for symbol in S.values():
    solver.add(z3.Or([symbol == i for i in range(1, 10)]))

# Every row value must be unique.
for row in numbers:
    solver.add(z3.Distinct([S[col + row] for col in letters]))

# Every column value must be unique.
for col in letters:
    solver.add(z3.Distinct([S[col + row] for row in numbers]))

# Every block must contain every value.
for i in range(3):
    for j in range(3):
        solver.add(z3.Distinct([S[letters[m + i * 3] + numbers[n + j * 3]]
                                for m in range(3)
                                for n in range(3)]))

# Colored boxes.
for box in boxes.split("\n"):
    box = box.strip()
    if not box: continue
    boxsum = z3.Sum([S[pos] for pos in box.split()])
    solver.add(z3.Or([boxsum == 1, boxsum == 4, boxsum == 9,
                      boxsum == 16, boxsum == 25, boxsum == 36]))

# Print solutions.
while solver.check() == z3.sat:
    model = solver.model()
    for row in numbers:
        print("".join(model.evaluate(S[col+row]).as_string()
                    for col in letters))
    print()

    # Prevent next solution from being equivalent.
    solver.add(z3.Or([S[col+row] != model.evaluate(S[col+row])
                      for col in letters
                      for row in numbers]))

Answer 2

创建了一个名为 Boxes 的列表，其中包含 9 个元素，每个元素都是另一个列表。 这 9 个列表对应于 9 个盒子中的每一个，每个列表都包含元组作为元素，该元素具有该盒子中每个方块的行和列索引。 以与以下类似的方式显式输入值会产生相同的效果（但会浪费时间）：

 # The boxes list is created, with the row and column index of each square in each box Boxes = [ [(3*i+k+1, 3*j+l+1) for k in range(3) for l in range(3)] for i in range(3) for j in range(3) ]