如果 m <= n，时间复杂度 O(nm) 是否等于 O(n^2)

Question

我正在研究算法的时间复杂度，以查找字符串n是否包含 substring m其中m <= n 。 分析的结果是时间复杂度为O(nm) 。 因此，以这个时间复杂度为起点并知道m <= n ，因此mn <= n^2 。 我们可以说大 O 表示法的时间复杂度是O(n^2) 。

Answer 1

确实如此，如果 function 的运行时间为 O(mn)，并且您知道 m ≤ n，那么 function 的运行时间为 O(n ² )。

但是，这可能不是表征运行时的最佳方式。 如果 m 是一个可调参数，范围可以从 0 到 n，那么 O(mn) 可能是表征运行时的“更好”方式。 例如，假设这是一个从 n 元素数组中找到 m 个最小元素的算法。 如果您想使用此算法从一千万 (n = 10 ⁶ ) 中找出前五个元素 (m = 5)，那么将运行时间描述为 O(n ² ) 将大大高估实际完成的工作量，而O(mn) 会在运行时给出更好的界限。

在字符串搜索的情况下，两个字符串的长度可能大不相同，这是将运行时间描述为 O(mn) 的一个很好的理由，因为它向您展示了运行时间如何随两个输入字符串的运行时间扩展，不只是其中一根弦。

希望这可以帮助！