O(N+M) 时间复杂度

Question

我正在解决一些给定目标时间复杂度和空间复杂度的练习问题。 其中之一给出了 O(N+M) 的目标时间复杂度。 我对 O(N+M) 算法外观的直觉有一些麻烦。 有没有人有这样的算法的例子或者可以清楚地解释它？ 我试图想到的每个例子对我来说似乎都是 O(N*M)。

Answer 1

O(m+n)算法的一个简单示例：

int sum(int[] nArr, int[] mArr) {
    int sum = 0;
    for(int i : nArr) {
        sum += i;
    }
    for(int i : mArr) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

要计算总和，您需要遍历nArr所有元素（大小为n ）和mArr所有元素（大小为m ），因此总体复杂度为O(m+n)

Answer 2

O(n + m) 算法的快速简单示例：

for (i = 0; i < n; i++)
{
  // do something but don't loop or invoke recursive functions
  // only constant O(c) complexity is allowed: a simple series of commands
}

for (i = 0; i < m; i++)
{
  // idem
}

添加时复杂性是可交换的 (O(n + m) == O(m + n)) 这意味着您可以在不影响复杂性的情况下反转两个for() 。 显然，在算法层面上，倒置的可能不等同于直的。

作为额外的帮助，这里有一个 O(n * m) 算法的例子：

for (i = 0; i < n; i++)
{
  for (j = 0; j < m; j++)
  {
    // do something but don't loop or invoke recursive functions
    // only constant O(c) complexity is allowed: a simple series of commands
  }
}

同样，您可以在不影响复杂性的情况下将内部与外部循环反转（O（n * m）== O（m * n））。 同样明显的考虑也适用。

您可以放入for()主体的限制是因为大 o 表示法限制了上限。 如果它是一个下限（小 o 符号），您可能已经放入了更复杂的东西，但它永远不会低于这个数字。

Answer 3

所以，为了扩展其他的回复，我会尝试添加一个此类问题的示例，以帮助您理解：

• 在 N 大小的数组中查找最小值/最大值，然后在 M 大小的数组中查找此值。 由于您需要执行第一次最小/最大搜索，因此您不能立即进行。

例如，对 2 个向量的元素求和可以在 O(M+N) 中完成，但可以认为是 O(N)（假设 N>M）或 O(M)（如果 M>N）。

Answer 4

以上所有答案说明了 O(n+m) 是如何工作的，但我想通过了解 O(n m)、O(n+m) 和 O(n m)之间的区别从不同的角度来看待它主要区别是当 n 数乘以 m 数时，这意味着 n 将发生 m 次或将尝试 m 次，例如，下面的代码是 O(n*m) 因为 n 将发生 m 次 n次

for(int i=0; i < n;i++){
  for(int j=0; j < m;j++){
  //some_code
  }
}

Answer 5

这个问题的直觉是你有两个唯一的变量n和m 。 现在想象这两个独特的变量独立增加，接近无穷大。

如果这是一个 O(n) 问题（即 BIG-O），则该问题复杂性的向上边界至少是线性的。 你可以说O(n) = n^2 。 但是当n （输入）接近无限时，O(n) 问题甚至永远不会接近n^2限制。

同样， m的行为将是相同的。 O(m)可以是m^2 。 但更准确的说法是O(m) = m 。 这两个问题的复杂性是线性的。

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现在，如果你只做O(n+m) ，那真的是n^2吗？ 不应该。 即使n=m ，总和也会是2n或2m 。 这个问题的复杂性仍然是线性的，因为输出的大小仍然与输入n和m成正比。 因此，这个问题最准确的答案是O(n+m) = n+m 。

Answer 6

一个具有启发意义的例子是采用两个大小为 M 和 N 的排序数组，并输出一个包含所有这些元素的新排序数组。 这是归并排序的基础，将进行 O(M+N) 次比较。

你可以在任何地方找到一个例子或自己做。