下推自动机构造

Question

如何构建一个接受该语言的 PDA：

( {a^ib^kba^i | i>=0,k>0}) 

Answer 1

要获得这种语言的 PDA，我建议分别为联合中的每种语言编写两个 PDA，然后不确定地跳转到一个或另一个 PDA。

为 a^(2n) 获得一个 PDA | n > 0，我们只需要保证a的个数是偶数； 这是一种常规语言，因此 DFA 就足够了（DFA 只是一个 PDA，它不会对堆栈做任何有趣的事情）

       /---a---\         state    stack    input    state'    stack'
       |       |         q0       Z        a        q1        Z
       V       |         q1       Z        a        q0        Z
----->q0--a-->q1

要为另一个 PDA 获取 PDA，我们看到正面和背面的 a 的数字必须匹配； 为此，我们需要堆栈。 我们可以让PDA推送它读取的a，直到它看到第一个c； 然后我们可以让它读取 c，然后是至少一个 d，然后是另一个 c，最后是我们之前推送的相同数量的 a：

state    stack    input    state'    stack'    comment
q0       x        a        q0        ax        push a's until we see a c
q0       x        c        q1        x         read the required c
q1       x        d        q2        x         read the required d
q2       x        d        q2        x         read as many d as needed
q2       x        c        q3        x         read the 2nd required c
q3       ax       a        q3        x         pop a's until we run out of input
q3       Z        q4       Z         Z         accept on empty stack+state

要连接这些，您只需将第一个状态重命名为 q0' 和 q1'，然后添加一个新的开始 state q0''，其工作方式如下：

state    stack    input    state'    stack'    comment
q0''     Z        -        q0        Z         guess we're going to the 2nd PDA
q0''     Z        -        q0'       Z         guess we're going to the 1st PDA

至于你的第二个问题：

1. 假设我们有一个 PDA 接受最终 state 但不一定是空堆栈； 也就是说，如果 PDA 在最终状态中没有输入，它会接受，否则它会拒绝。 我们可以添加一个新的 state，使其成为唯一的接受状态，并将所有先前接受状态的空转换添加到它。 这个新的 state 可以对自身进行空转换，仅用于清除堆栈而不消耗任何额外的输入。 这个结构表明，如果我们可以单独通过最终 state 接受，我们可以通过最终 state 和空堆栈一起接受。

2. 假设我们有一个 PDA 通过空堆栈接受但不一定是最终的 state； 也就是说，如果 PDA 在堆栈为空的同时用完输入，则 PDA 接受。 添加一个新的 state 并将 PDA 中的所有状态转换到空堆栈上的它。 让这个 state 接受并且不给它任何转换。 PDA 将崩溃，除非输入已经用尽，并且只有在堆栈也为空时才能到达。 这个结构表明，如果我们可以单独通过空堆栈接受，我们可以通过空堆栈接受和同时接受 state。