下推自動機構造

Question

如何構建一個接受該語言的 PDA：

( {a^ib^kba^i | i>=0,k>0}) 

Answer 1

要獲得這種語言的 PDA，我建議分別為聯合中的每種語言編寫兩個 PDA，然后不確定地跳轉到一個或另一個 PDA。

為 a^(2n) 獲得一個 PDA | n > 0，我們只需要保證a的個數是偶數； 這是一種常規語言，因此 DFA 就足夠了（DFA 只是一個 PDA，它不會對堆棧做任何有趣的事情）

       /---a---\         state    stack    input    state'    stack'
       |       |         q0       Z        a        q1        Z
       V       |         q1       Z        a        q0        Z
----->q0--a-->q1

要為另一個 PDA 獲取 PDA，我們看到正面和背面的 a 的數字必須匹配； 為此，我們需要堆棧。 我們可以讓PDA推送它讀取的a，直到它看到第一個c； 然后我們可以讓它讀取 c，然后是至少一個 d，然后是另一個 c，最后是我們之前推送的相同數量的 a：

state    stack    input    state'    stack'    comment
q0       x        a        q0        ax        push a's until we see a c
q0       x        c        q1        x         read the required c
q1       x        d        q2        x         read the required d
q2       x        d        q2        x         read as many d as needed
q2       x        c        q3        x         read the 2nd required c
q3       ax       a        q3        x         pop a's until we run out of input
q3       Z        q4       Z         Z         accept on empty stack+state

要連接這些，您只需將第一個狀態重命名為 q0' 和 q1'，然后添加一個新的開始 state q0''，其工作方式如下：

state    stack    input    state'    stack'    comment
q0''     Z        -        q0        Z         guess we're going to the 2nd PDA
q0''     Z        -        q0'       Z         guess we're going to the 1st PDA

至於你的第二個問題：

1. 假設我們有一個 PDA 接受最終 state 但不一定是空堆棧； 也就是說，如果 PDA 在最終狀態中沒有輸入，它會接受，否則它會拒絕。 我們可以添加一個新的 state，使其成為唯一的接受狀態，並將所有先前接受狀態的空轉換添加到它。 這個新的 state 可以對自身進行空轉換，僅用於清除堆棧而不消耗任何額外的輸入。 這個結構表明，如果我們可以單獨通過最終 state 接受，我們可以通過最終 state 和空堆棧一起接受。

2. 假設我們有一個 PDA 通過空堆棧接受但不一定是最終的 state； 也就是說，如果 PDA 在堆棧為空的同時用完輸入，則 PDA 接受。 添加一個新的 state 並將 PDA 中的所有狀態轉換到空堆棧上的它。 讓這個 state 接受並且不給它任何轉換。 PDA 將崩潰，除非輸入已經用盡，並且只有在堆棧也為空時才能到達。 這個結構表明，如果我們可以單獨通過空堆棧接受，我們可以通過空堆棧接受和同時接受 state。